Может, это специфические гостиницы, но всё равно ведь гостиницы. Считаю, что «гостиницей» и нужно отмечать.

Ну если я правильно понимаю суть, то поломники придут в монастырь, а в каком здании расположатся уж не важно. Это как название промышленного здания на территории завода или АЭС, эта информация не для простых смертных.
Хотя с другой стороны, ничего плохого нет в том, что в городе будет на одно здание категорией Гостиница больше. Из названия, описания простым людям можно будет легко отсеять. (Совсем другое дело, когда в квартале три десятка стоянок по две машины во дворах отмечены парковкам, но это другой разговор)
 

В гостинице для паломников может остановится любой (при соблюдении некоторых внутренних правил разумеется).

Гостиницу монастырям, как-правило, держать нет возможности, тем более нанимать персонал со стороны. Значит это службы с исполнением кем-то ежедневного послушания.  Обычно это келии, иногда гостевые дома. Распорядок везде единый по монастырскому уставу, всех подряд туда не берут и свободного доступа, как в обычных гостиницах, нет.

Если вы точно знаете, какой категорией обозначать келии, то применяйте это смело и здесь. (Я лично не знаю, но догадываюсь, и, параллельно, не хочется вступать в бесполезные дискуссии в отсутствие ясного резюме начальства).