Словами Даниэля Канемана интуиция - это способность автоматически генерировать решения без длинных логических аргументов или доказательств.
Эта способность появляется как результат опыта. Если долго работать в определенной области, решая определенный круг проблем, то с некоторого момента решения появляются автоматически, интуитивно.
Если говорить о применении, то интуиция возникает как побочный продукт любой деятельности, в ходе которой решаются проблемы.
Например, я занимаюсь проектированием. Я много-много раз решал похожие задачи, но каждый раз с немного разными параметрами. Например, я делал планировки помещений тысячи раз. Со временем появляется интуиция, которая выражается в том, что я могу просто взглянув на план предсказать, например, поместятся на нем желаемые заказчиком помещения и рабочие места или нет. Мне для этого не нужно думать, считать или эскизировать, я сразу знаю.
Точно так же, например, рекрутер, имеющий дело с тысячами соискателей, со временем формирует интуицию, которая помогает ему "чувствовать" подходит кандидат или нет.
Точно так же, например, столяр осматривая и ощупывая, скажем, доску, может предсказать даст она трещину, если в нее забить гвоздь в конкретном месте или нет.
Точно так же шеф-повар может благодаря интуиции может готовить не глядя в рецепт, просто "по наитию".
Интуиция применятся буквально - как тот же навык, который привел к ее формированию. А смысл ее применения в том, что она позволяет находить возможные (и часто правильные) решения очень быстро, иногда мгновенно.