Почему векторное произведение дает нам вектор? И почему скалярное произведение полученного вектора с другим дает нам объем параллелепипеда?
Представьте векторное произведение axb=i(p)+j(p)+k(p). P - это полученный вектор. Я понимаю, что если бы в матрице 3 на 3 вместо (i, j, k) были координаты, то мы бы получили параллелепипед. Но каким образом скалярное произведение (i,j,k) и (p1,p2,p3) дает нам тот же самый результат? Нас учили, что скалярное произведение дает длину (magnitude), но не объем или площадь. Что я не так понимаю?
МатематикаЛинейная алгебра
Лок ЭрстедМатематика и математики
· 22,1 K
Лучший
Openstack DevOps and IBM/Informix Certified DBA . Phd in Math (Duality of spaces of... · 16 окт 2021
Далее смотрим детально последную строку
Здесь z = [a (x) b] есть вектор перпендикулярный плоскости натянутой на вектора "а" и "b" , длина которого есть площадь параллелограмма натянутого на вектора "а" и "b". Скалярное произведение (z,d) = |z|*|d|* cos(psi), где "psi" есть угол между z и d . Но |d|* cos(psi) есть длина проекции d на направление z ( where z is actually normal to plane containing vectors "a" and b" ). То есть |d|* cos(psi) есть высота наклонного параллепипеда натянутого на {a,b,d}. Таким образом, мы доказываем, что ([a (x) b],d) есть его объем.
==================================================
Would you need all explanations above to be provided to you in English, make a direct request to give you feedback in English. Otherwise, YANDEXQ will just drop my answer due to YANDEXQ POLICY to reply only in Russian.
@Лок Эрстед, если |а| в метрах и |b| в метрах ,то |а|*|b| *sin(a^b) - это метры к квадрате. |а|*|b| *sin(a^b)... Читать дальше
«Почему векторное произведение дает нам вектор?» Потому что по определению положено так.
«И почему скалярное произведение полученного вектора с другим дает нам объем параллелепипеда.» Т. к. длина вектора, полученного в результате векторного произведения, равна площади параллелограмма, построенного на векторах векторного произведения. То по определению скалярного... Читать далее
Скалярное произведение двух векторов есть ab = |a||b| * Cos ab и представляет собой, по сути, проекцию вектора а... Читать дальше
Векторное произведение - "не очень вектор", раз размерность его компонент измеряется в квадратных метрах. но история эта довольно длинная. Заметим лишь, что с векторным произведением "не очень хорошо" в зеркале: векторное произведение зеркальных отражений векторов - совсем не зеркальное отражение векторного произведения.
1 эксперт согласен