На первый взгляд кажется, что точек внутри квадрата со сторной, равной 1, намного больше, чем точек, которые можно разместить внутри отрезка единичной длины.
Однако существует способ взаимно-однозначно сопоставить каждой точке квадрата точку отрезка и наоборот.
Вкратце (без строгостей) вот оно:
Любой точке отрезка длиной, равной 1 (концы исключены) можно взаимно однозначно сопоставить действительное число 0<X<1, если наложить отрезок на числовую ось так,чтобы один из концов отрезка совпал с нулём, а второй- с единицей на числовой оси.
Число X может быть записано бесконечной десятичной дробью вида 0,а1а2а3а4а5…., где а1,а2… - цифры десятичного представkения числа X.
Можно составить число X1 из цифр, стоящих на нечётных местах числа X, то есть X1=0,а1а3а5а7…., а число X2 из цифр, стоящих на чётных местах, то есть, X2=0,a2a4a6a8…. Вполне очевидно, что 0<X1<1 и 0<X2<1.
Наложив на единичный квадрат декартову прямоугольную систему координат так чтобы его вершины получили кординаты (0.0,0.0),(0.0,1.0),(1.0,0.0) и (1.0,1.0), мы найдём в квадрате единственную точку с координатами (X1,X2). то есть, любой наугад взятой точке на отрезке мы нашли соответствующую ей точку внутри квадрата.
Аналогично доказывается обратное соответствие- любой точке, взятой внутри квадрата ставится в соответствие пара чисел, (координаты точки), которые записываются в виде бесконечных десятичных дробей. Формируется число, в котором на нечётныхместах помещаются цифры первой координаты точки, а на чётных- второй координаты. Этому числу соответствует ровно одна точка на отрезке.
Сей строго доказанный факт назывется равномощностью множеств, и вызывает у меня удивление, входя в явное противоречие со "здравым смыслом".