Говорят, что история — это великий учитель, а чему она нас учит?

Любую цитату надо рассматривать в контексте, и смотреть ее целиком. Чаще всего, когда говорят, что история - это учительница жизни, то имеют в виду либо высказывание Цицерона, либо Ключевского, но, на минуточку, между ними добрых две тысячи лет, разный уровень развития науки, разный исторический контекст.

Цицерон говорил:

В это время история рассматривалась не как наука о прошлом, и даже не как прошлое в процессе развития, а исключительно как набор примеров деятельности выдающихся личностей, которые могут послужить в качестве основы для воспитания молодежи. При этом биографии этих личностей в общем-то не изучались, а скорее конструировались в качестве неких идеальных образцов. То есть Цицерон имел ввиду, говоря о том, что история учительница жизни, то, что беря примеры из прошлого, оратор современности должен возбуждать молодежь (и не только) соответствовать неким идеалам.

Ключевский же писал:

В это время в исторической науке общим местом было представление о существовании неких объективных исторических законов, знание которых позволяет прогнозировать развитие общества. Соответственно незнание закона в данном случае не освобождает от ответственности, как и его игнорирование.

Если же рассматривать с позиции современного уровня развития науки, то история учит людей, что реальность гораздо сложнее любых схем, что есть огромное количество факторов, влияющих на исторический процесс, что не бывает однозначных оценок и толкований, что все параллели с прошлым - всегда условны. Собственно те, кто хочет научиться, те этому и учатся.

Ничему не учит история. С развитием интернета и многих и многих мнений , фактов и псевдофактов, история превратилась в непотребную девку. У кого больше денег и влияния ( политического, экономического и т.п.) тот её и использует по собственному воспитанию.

Можно нагородить кучу умных слов, хотя достаточно нескольких выражений для полного ответа. История позволяет обобщить опыт прошлого для понимания вероятных последствий сегодняшних вариантов действий. 

В первую очередь история нас учит не повторять ошибок прошлого (если только её изучение не представляет собой вызубривание дат событий, считающихся составителями учебника основными или ключевыми). Проблема заключается в том, что знание это не до всех доходит, и человечество из раза в раз повторяет все те же ошибки.