Университетом может называться высшее учебное заведение, реализующее обучение по нескольким специальностям (как минимум 7). Институт -высшее учебное учреждение, образовательные программы которого ориентированы на конкретную область профессиональной деятельности.
А академия тогда что такое?
Академия - это научное учереждение/организация
А где эти понятия законодательно закреплены?
В комментариях
Кроме того, внутри университета есть институты. Например, институт экономики, институт иностранных языков. В некоторых ВУЗах ( = университетах) факультет приравниваем/заменяем институтом :)
В советской системе в университете учили наукам (математика, механика, филология, химия и т.п.), а в институтах учили специальностям (учитель математики, инженер, архитектор). Это было сильно заметно по дипломам - после института - учитель математики, после университета - математик.