Ответ Полины в большей степени описывает реалии российской бюрократии, чем исторически сложившиеся правила присваивания названий научным организациям. Все просто.
Институт (лат. institutum — установление, обычай, учреждение) -- любая организация, занимающаяся любой деятельностью. Президент России это институт. Пресса это институт. Государственный Астрономический Институт им. Штернберга (научная организация) -- тоже институт. И даже Московский Авиационный Институт (учебная организация) -- самый настоящий институт. Почти все образовательные институты в России подчинены министерству образования и науки и напрямую им управляются.
Университет (лат. universitas — совокупность, общность) -- комплекс, объединяющий в себе философов, ученых различной специальности и их учеников. Университеты обычно независимы и самоуправляемы, часто закрытые для полиции и представителей власти. Часто университеты, не расположенные в больших городах, становятся "градообразующими предприятиями". В городе Heidelberg, в котором я сейчас живу, на 150 тысяч населения 30 тысяч студентов университета. Обычно именно университеты присваивают ученые степени доктора (в России до недавнего времени это делал специальный орган минобрнауки), тогда как институты могут быть базами для непосредственной работы ученых, например, аспирант университета одновременно является сотрудником института.
Поэтому студенты настоящих, исторически сложившихся университетов, часто не любят, когда их спрашивают, как дела в "институте". Университет это нечто большее, чем институт. Но забюрократизованность российского образования и его подотчетность министерству образования вместо независимости университетов лишают университеты статуса, который университеты обычно имеют в других странах. Например, академик Садовничий, чтобы подольше побыть ректором университета, продал независимость университета Путину -- теперь президент назначает ректора МГУ, а не ученый совет.
Академия (от греч. Ἀκαδήμεια) -- научное сообщество, клуб. Обычно связано с группой научных институтов, лучшие ученые из которых принимаются в академию и получают соответствующий статус академика от других академиков. Академии часто издают научные журналы и могут являться экспертным сообществом. Некоторые академии также ведут образовательную деятельность. При этом академию, в принципе, может основать каждый, но такие академики будут высмеяны (см. РАЕН). До недавнего времени Российская Академия Наук непосредственно управляла большинством научных организаций в России, но после реформы 2013 года потеряла такую возможность, а институты стали управляться чиновниками ФАНО.
Университетом может называться высшее учебное заведение, реализующее обучение по нескольким специальностям (как минимум 7). Институт -высшее учебное учреждение, образовательные программы которого ориентированы на конкретную область профессиональной деятельности.
А академия тогда что такое?
Кроме того, внутри университета есть институты. Например, институт экономики, институт иностранных языков. В некоторых ВУЗах ( = университетах) факультет приравниваем/заменяем институтом :)
В советской системе в университете учили наукам (математика, механика, филология, химия и т.п.), а в институтах учили специальностям (учитель математики, инженер, архитектор). Это было сильно заметно по дипломам - после института - учитель математики, после университета - математик.