Это из тех вопросов, на которые затруднительно ответить, потому что ситуация фантастическая. Чтобы планета (Земля) взяла и раскололась, должно произойти что-то очень сильное, т.е. для этого в принципе требуется приложение огромной энергии. Допустим, мы вообразим такое приложение энергии, при котором планета разделяется на две половинки (если следовать за иллюстрацией в вопросе), но тогда то, посредством чего это будет производиться, само будет тем, что мы будем видеть. Т.е. если это будет огромная бензопила, то мы должны видеть бензопилу, если это колоссальный лазерный луч, мы будем видеть луч. Честно говоря, реальных способов разрезать планету пополам придумать невозможно.
Просто представить, что цельный шар вдруг потерял целость и стал двумя приставленными половинками — ничего не изменится, притяжения половинок будет достаточно, чтобы они удерживались вместе. Значит, если мы хотим, как на картинке, получить две половинки Земли на расстоянии, также требуется энергия, чтобы раздвинуть эти две пол-Земли. Опять же, если это взрыв, то планета будет разрушаться на много частей, а чтобы ровно пополам — это весьма фантастично. Что происходит с моментом вращения при этом — тоже неоднозначность. Продолжают ли после разделения половинки ускоренно разлетаться или в принципе падают обратно друг на друга — ещё одно условие, от которого будет меняться вся картина.
Если, согласно фантастическому условию, мы получим буквально срез Земли, то, логично, это будет и срез ядра и всех слоёв. Кольца — появятся, если будет много осколков, но это явно не за час, нужно несколько дней по меньшей мере. Температура — как уже говорилось, для разделения планеты пополам нужно приложение какой-то огромной энергии, а приложение такой энергии уже само по себе даст такую температуру, что на месте океанов я бы сразу испарился. Если предположить, что разделение волшебным образом произошло "по-холодному", просто раз и всё — с температурой сразу по идее ничего не произойдёт, но жар от обнажившихся недр за несколько часов распространится на остальную поверхность, да и атмосфера начнёт быстро стекать в образовавшуюся плоскость, и океан конечно, сразу испаряясь. Так что воздуху и гидросфере приходит кердык за пару часов точно. И ландшафт поверхности тоже кердык. Со временем (порядка десятков лет) обе половинки вернулись бы к форме гидростатического равновесия, т.е. разделённые полушария стали бы двумя шариками. Но более вероятно, что из-за неоднородностей плотности внутренних слоёв, сохраняя суточную инерцию вращения, внутренности планеты просто вывалятся, так что половинки скорее всего развалятся, и мы получили бы облако (или два облака) обломков и пыли. Сила тяжести на поверхности абстрактно разделённых полушарий — коль скоро половинки остаются рядом, не меняется, а чем они дальше друг от друга, тем она будет меньше.