Невероятно интересный вопрос, на самом деле, один из немногих здесь, что заставил реально поднапрячься и подумать.
Ну, сходу хочется ответить какой-нибудь шуткой вроде "Они оба могут защитить дом от воров"(Что, в целом, не так далеко от истины ответа), но вы спрашиваете именно о словах, так что логично обратиться к этимологии этих понятий.
Посмотрим, например, на латынь: "палисадник" восходит к pālus, что в переводе означает «кол, столб», "оружие" же отсылает к древнерусскому "оружь-оругjь", что значило "палка, оружие".
Далее: "оружие" в древнерусском языке было однокоренным к "ругать" (руг-руж -- вполне себе взаиморедуцируемые корни), что в некоторых диалектах значило "попирать ногами". Вполне себе способ не только ведения боя, но и, собственно, назначение этого самого палисадника.
Ну и ещё, совсем незначительное. "Оружие" на украинский переводится как "зброя" (от польск. zbroja), а "сбруя" -- устаревшее название для воинских доспехов, которое в том числе можно обобщить на различные укрепления и ограды, или, если говорить более художественным образом, палисадники.
Удачи.
От латинского pālus("кол, столб") происходят и "палисадник", и "палица". "Палица", конечно, не тождественна "оружию", но, всё-таки, в некоторой степени является квазисинонимом.