В данном случае ракету правильней назвать ракета-носитель. Любая ракета-носитель является многоступенчатой (одноступенчатые есть только в проектах), однако РН с более чем 4 ступенями не производят. Если ракета-носитель имеет поперечную схему компоновки, то ступени отрабатывают и отделяются поочередно, если продольную - то со старта включаются двигатели сразу всех ступеней. Дальше для определенности речь пойдет о поперечной компоновке. В процессе полета к орбите первой отделяется соответственно первая ступень , которая падает на землю; после этого включается вторая ступень, и отработав, также отделяется, но она уже может сгореть в плотных слоях атмосферы (полностью или частично); третья же ступень уже выводит аппарат на необходимую орбиту и после отделения может остаться где-то на орбите, но в последствие всё равно начнёт снижаться и сгорит в атмосфере.
А вот американская компания SpaceX создала многоразовую ракету-носитель, которая после доставки полезного груза приземляется ровно на стартовую площадку, и на землю ничего не падает.
_________
Ракету запускают таким образом, чтобы она вывела управляемый аппарат на специальную траекторию (все эти траектории специально высчитываются, именно поэтому запуски назначают строго в определенное время, а не когда захочется), по которой он догоняет космическую станцию. Более точная корректировка орбиты уже производится рулевыми двигателями самого аппарата, делает это всё умная электроника. На данный момент возвратиться на Землю можно единственным способом - в спускаемом аппарате "Союз". Это такая капсула, которая отстыковывается от космической станции и начинает торможение, вследствие чего начинается её сход с орбиты (падение). После прохождения плотных слоев раскрываются парашюты, вот и всё.