Для чего был изобретен интеграл и дифференциал, какое математическое действие лежит в их основе и их значение для естественных и технических наук?

Физика+2
Max Kravchenko
  · 53,3 K

В отличие от других ответчиков я начну с интеграла, а не с производной. Интеграл в жизни имеет конкретный физический смысл. Это площадь фигуры ограниченной осью абцисс Х и графиком функции. Далеко от жизни? Сейчас приблизим. Представим себе машину, которая едет. Отложим по оси Х время в пути, а по Y - скорость в каждый, конкретный момент времени, и начертим график скорости от времени. Если скорость постоянная - это будет горизонтальная прямая. Фигура ограниченная этой прямой и осью Х - будет прямоугольником. Ширина прямоугольника - время в пути, а высота - скорость машины. Ширина*высота=площадь. Но при этом время*скорость=расстояние. Т.е. расстояние равно площади! И пройденное расстояние - это интеграл скорости.

А теперь начинается магия математики. Как посчитать путь, который пройдет машина, если у неё непрерывно меняется скорость, и её график извилистая кривая? А очень просто. Ведь ничего не изменилось - надо только найти площадь фигуры на графике! Как мы будем искать эту площадь - не важно. Можно просто посчитать клеточки на бумаге (это будет численным интегрированием, которое всегда приблизительное). А если скорость описана функцией от времени - можно найти её интеграл и сразу получить точный ответ.

А диференцирование - это это действие обратное интегрированию. Если продиференцировать функцию расстояния от времени, которую получили интегрированием скорости - мы обратно получим скорость. Ту самую скорость, с которой меняется пройденный путь машины. Сейчас скорость большая, километровые столбы мелькают, и пройденный путь быстро растет, а когда скорость падает и пройденные километры набираются медленно. На графике пути от времени, скорость это наклон самого графика. Грфик идет вверх - скорость положительная, мы едем вперед и расстояние растет. График пошел вниз - скорость отрицательная, мы едем обратно, а расстояние до точки старта уменьшается. График горизонтальная линия (наклона нет) -скорость равна нулю, мы стоим и расстояние неизменно.

Немного решил дописать.

Вообще интеграл в изменяющихся физических процессах очень востребован. А любой процесс описывает какую-то жизненную ситуацию.

Это сколько воды натекло через трубу в пресловутый бассейн при переменном напоре. Сколько киловатт накрутил электросчетчик при переменной нагрузке на сеть. До какой температуры нагрелась вода в кастрюле, если в процессе нагрева мы регулировали мощность плиты.

Любой процесс изменяемый во времени можно интегрировать и получить полезный результат. То же касается и дифенциала, который показывает скорость изменения общего результата.

Комментировать ответ…Комментировать…
Ещё 3 ответа
Физик, художник, счастливый человек
Производная показывает скорость изменения функции. Самый элементарный пример - это расстояние, скорость, ускорение. Если мы движемся с постоянной скоростью, 5 м/с, то в первую секунду мы будем находиться на расстоянии 5 м от начала, во вторую 10 м от начала и т.д., а производная от нашего места положения - это и есть скорость 5 м/с. Если же у нас... Читать далее
Комментировать ответ…Комментировать…
Занимаюсь разработкой игр. Веду активный образ жизни, связанный с акробатикой и...
Добавлю к вышесказанному. Давайте попробуем определить скорость объекта, который движется из пункта А в пункт Б, между которыми расстояние 100 метров. Для примера возьмем, что объект прошел это расстояние за 10 сек. Следовательно, средняя скорость равно 100 / 10 = 10 м/с Но ведь объект мог двигаться не с постоянной скорость, а следующим образом: Первы... Читать далее

Какое замечательное объяснение! Спасибо!!!

Комментировать ответ…Комментировать…
Химик, Сотрудник института РАН
Давайте начнем с дифференциала, а точнее с производной, потому что о ней речь заходит у всех еще в школе. Из школьного определения мы знаем "Производная это отношение приращения функции к приращению аргумента". Проще говоря это отношение изменения функции к изменению аргумента, но эта фраза тоже может быть понятна не всем. Функция это некая величина... Читать далее
Только вот дифференциал функции это не ее "бесконечно малое изменение", а линейная по аргументам часть ее... Читать дальше
Комментировать ответ…Комментировать…
Вы знаете ответ на этот вопрос?
Поделитесь своим опытом и знаниями
Войти и ответить на вопрос