Начать с того, что со скоростью света двигаться невозможно. Будем считать, что вы имели в виду полет со скоростью, близкой к скорости света.
Да, это так. Дело в том, что все процессы (неважно: показание часов, или деятельность организма) являются показателем длины "мировой линии" в пространстве Минковского, проходимой данным объектом. Об этом говорит специальная теория относительности. Мировая линия тем короче, чем больше движение отличается от инерциального. По данной причине большее время пройдет у землян, меньшее - у космонавта, который тормозил и опять ускорялся.
Объяснить, почему это так с точки зрения бытовых представлений, не удастся. В обычной жизни мы не сталкиваемся с такими скоростями, и не ощущаем взаимосвязи пространства и времени, которая на самом деле присутствует.
Подобных экспериментов ещё никто не проводил, а прямой вопрос по логические противоречия подобного утверждения физика отвечает уклоничиво, ссылаясь на практическое отсутствие в природе инерциальных систем отсчёта.