Здравствуйте! Ничего менять и перерегистрировать вам не нужно. Ваша прописка никак не влияет на регистрацию автомобиля. Так что просто наслаждайтесь дальше пользованием своего любимца;)
Налог будет начислять по месту действующей прописки. А перерегистрировать, действительно, не обязательно. Но можно подать документы в гибдд и получить новое свидетельство, машину на сверку предоставлять не обязательно.