Доказать, что { sinX, cosX } - базис линейного пространства функций f(x) = aSinX+bCosX, где a,b ∈ R. Какова размерность этого пространства?

Юрий
  · 206

Составьте линейную комбинацию функций sinx, cosx, приравняйте ее к нулю.

Затем продифференцируйте равенство. Вы получите систему относительно коэффициентов линейной комбинации. У нее для всех значений х единственное решение. Найдите его.

Мне уже преподаватель подсказку дал, но я всё равно никак не могу понять как это сделать... Может кто нить, пожалуйста, прозрачно объяснить как это сделать?

Автор вопроса считает этот ответ лучшим
Вадим Романский
Астрономия
5,0K
младший научный сотрудник ФТИ им. Иоффе  · vk.com/astropolytech

a sinX + b cos X - линейная оболочка синуса и косинуса по определению. То есть синус и косинус в ней - полный набор, задает её всю. Осталось доказать что уменьшить этот набор нельзя, то есть что синус и косинус независисмы. Это наверно можно сделать миллионом способов, начиная с фразы "это очевидно", но преподаватель наверно намекает на следующий. По определению линейная зависимость значит, что для каких-то a и b

a sin x + b cos x = 0

это одно уравнение. Оно должно выполняться для всех икс. Тогда мы можем его продифференцировать и получить

a cos x - b sin x = 0

Теперь решим эту систему уравнений относительно a и b. Ее определитель не равен нулю по основному тригонометрическому тождеству, а значит существует только одно решение a = 0, b = 0. А значит синус и косинус не зависимы, а значит они базис

астрофизическое образованиеПерейти на vk.com/astropolytech
Комментировать ответ…Комментировать…

Мы знаем, вы знаете

Кью — это социальная сеть Яндекса для знающих людей, готовых отвечать на важные и сложные вопросы