Нет, не должен. Единственное исключение, если есть фактическое принятие наследства: к примеру, наследник решил не принимать долги не подавая заявление о принятии наследства, но при этом проживает в квартире где есть доля наследодателя, платит за неё в управляющую компанию и оплачивает коммунальные услуги. Кроме того, если возникает вопрос у банка о погашении кредита покойного, надо поинтересоваться договором с кредитором - банки включают в договор страховые взносы и если они прописаны и приняты банком - все претензии банк должен отправлять страховой компании, как гаранту возврата займа в случае непредвиденных обстоятельств. А вы, во избежание нервотрепки, если не прошло более шести месяцев с момента открытия наследства, обязательно сходите к нотариусу и оформите заявление об отказе от наследства.