Должен ли репетитор задавать ученику домашнее задание?

Думаю, что да. В противном случае репетитор должен заниматься с учеником чуть ли не каждый день в течение длительного времени (что почти нереально). Нет ни одной профессиональной методики преподавания, при которой можно было бы обойтись без тренировок, повторений (самостоятельной работы) каждой темы изучаемого предмета. 

Однако продолжительность занятий и необходимость домашних заданий зависит от поставленных родителями цели и задач, от возраста ребенка. Если репетитора нанимают к двоечнику, который приходит на занятия ежедневно, то здесь требуется совместная работа: каждая тема разбирается (объясняется) подробно на занятиях с репетитором, а дома только нужно ее повторить. Когда перед педагогом поставлена задача подготовки учащегося к экзаменам, а он приходит на занятия раз-два в неделю, то здесь необходимы домашние задания для самостоятельной работы. Организация работы репетитора с учеником зависит от конкретной ситуации, целей и задач, сформулированных родителями. Некоторые родители возражают против домашних заданий, ссылаясь при этом на перегруженность ученика в школе. В данном аспекте важно знать, что есть такие предметы (темы), которые осваиваются исключительно за счет тренировок и систематического решения типовых/творческих заданий. Ни один, пусть даже гениальный, репетитор не может в одиночку добиться результата. Считается, что только добытая самим учеником учебная информация становится настоящим знанием для него. 

Особенностью работы приглашенного педагога является его способность/неспособность правильного (этичного) контакта с подопечным. Надо таким образом расположить к себе ученика, чтобы тот мог свободно (без стеснения) задавать уточняющие вопросы репетитору. Частота такого диалога (вопрос-ответ) возможна каждые три-пять минут — это нормально; хуже, когда ученик вообще не задает вопросы (это говорит о том, что он не понимает преподавателя). 

Кроме всего прочего, домашние задания и их проверка (разборка) используются в качества способа в мониторинге результатов работы репетитора с учеником и оценки промежуточных знаний последнего.

Обязательно. (а) это повторение пройденного перед новым занятием которое опирается на предидущее (б) самостоятельная проверка усвоенного и подготовка оставшегося непонятным.

Домашнее задание - обязательная часть образовательного процесса. Понимание происходит, когда остаёшься с задачей один на один. Плюс ещё к домашнему заданию, нужно периодически возвращаться к пройденному материалу: через неделю, месяц, три месяца. Это позволит лучше понять материал и запомнить его надолго.

"Должен" - не то слово. Репетитор может задавать домашнее задание, если полагает, что оно будет способствовать лучшему усвоению материала. Например, если между занятиями проходит много времени (скажем, неделя и больше). Я так и делаю.