Если принять, что в [1;2] бесконечно большое количество чисел, может ли это количество быть меньше бесконечно большого множества,скажем, в [1;3]?

Никита Опарин
  ·  
934
Nekto V-Palto  ·  14,2K
физик-теоретик в прошлом, дауншифтер и журналист в настоящем, живу в Германии

Во-первых, то о чем вы спрашиваете, называется "мощность" множества. Для множеств с конечным  числом элементов мощность равна этому числу. Для множеств с бесконечным числом элементов выделяют случай, когда все элементы можно "пересчитать" (установить взаимно-однозначное соответствие с элементами множества натуральных чисел). В таком случае математики говорят, что мощность множества "счетная" или просто - "счетное множество". Наконец, есть множества с бесконечным числом элементов, которые невозможно "пересчитать" (не существует взаимно-однозначных соответствий между элементами этого множества и элементами множества натуральных чисел). В таком случае говорят, что мощность множества - "континуум". В некотором смысле мощность континуум превосходит (является "больше") счетной мощности.

Во-вторых, о каких числах вы спрашиваете? Множество целых чисел в интервале [1;2] состоит из двух элементов (мощность равна двум) - единицы и двойки, а на интервале [1;3] - из трех (единицы, двойки и тройки). Здесь мощности множеств не равны друг другу . 

Множества рациональных чисел (равны отношению двух целых) на обоих интервалах бесконечны и счетны, то есть их мощности равны. Доказать равенство этих мощностей можно, доказав факт счетности обоих. А можно просто подобрать взаимно-однозначное соответствие между их элементами. Таким соответствием будет, например, Y=3×X/2. Любому рациональному X из интервала [1;2] оно ставит в соответствие одно и только одно Y из [1;3] - тоже рациональное (поскольку 3 и 2 - целые, а рациональное X - это, в свою очередь, отношение двух целых). Причем ни одно рациональное Y из [1;3] не будет пропущено, так как всегда найдется рациональное X=2×Y/3 из [1;2].

Множества иррациональных чисел (непредставимы в виде периодической дроби; иррационально, например, число e=2,71828...) на обоих интервалах бесконечны и имеют мощности континуум (а не счетные). Доказать равенство этих мощностей можно, в частности, с помощью все тех же отображений Y=3×X/2 и X=2×Y/3, где X и Y -  иррациональны.

Наконец, множества вещественных чисел (подмножествами которых являются множества рациональных и иррациональных) на обоих интервалах тоже бесконечны и имеют равные мощности (континуум).

UPD. Что касается тегов, то это не "алгебра", а "теория множеств". "Общество" тут тоже ни при чем.

15 июня 2017  ·  152
Комментировать ответ...
Реклама
Ещё 1 ответ
Иван Сизов  ·  2,4K
Простите за пунктуацию

У нас и там и там бесконечно много точек. Чтобы сравнить 2 бесконечности мы должны как-то их охарактеризовать, математики используют т.н. мощность. Два множества имеют одинаковую мощность, если между их элементами можно установить взаимнооднозначное соответствие. Поэтому множества точек на ваших отрезках равномощны. Теория по теме

15 июня 2017  ·  < 100
Комментировать ответ...
Вы знаете ответ на этот вопрос?
Поделитесь своим опытом и знаниями
Войти и ответить на вопрос
Читайте также

Можно ли сравнивать две бесконечности? Напишите популярным языком, пожалуйста.

Михаил Самин  ·  2,9K
Программист, пастафарианин

Можно, конечно. Пример с множеством всех чисел и множеством рациональных чисел не совсем корректен: их можно сопоставить друг другу (провести стрелки между элементами обеих множеств так, чтобы стрелки соединяли любой элемент любого из множеств с ровно одним элементом другого множества). Но есть множества, для которых нельзя сделать такое "сопоставление", например, множество положительных чисел и множество натуральных чисел. Грубо говоря, есть как минимум два "типа" бесконечных множеств — счётные и несчётные. Счётные - те, которым можно "сопоставить" множество натуральных чисел (то есть, по сути, пронумеровать все элементы так, чтобы у любого был номер, но все номера были различные), несчётные — те, с которыми это сделать нельзя (например, множество всех бесконечных последовательностей из нулей и единиц, множество действительных чисел, множество всех подмножеств счётного множества — несчётны, и их несчётного достаточно просто доказывается).

Напоследок скажу, что бесконечности в математике бывают только в контексте отсутствия предела в матане и в теории множеств (бесконечные множества бывают разными, функции могут стремиться к +/-–бесконечности, но с разной "скоростью", и их отношение может стремится к какому-нибудь числу или, опять же, не иметь предела).

9 мая 2016  ·  < 100
Прочитать ещё 3 ответа

Ученые доказали, что сумма всех натуральных чисел равна -(минус)1/12 — как сумма положительных чисел ушла в минус?

Alexander Vanetsev  ·  9,1K
Researcher, Institute of Physics, University of Tartu

Это специальные методы суммирования расходящихся рядов, а не сумма в традиционном понимании. Тут много всякой математики, которую я и сам не до конца понимаю, но для простоты можно сказать, что это некие способы приписывания некоторых конечных значений расходящимся рядам, что позволяет с этими расходщимися рядами работать. Это бывает нужно в разных областях математики и теоретической физики. 

Смысл в том, что существует определенный алгоритм, а точнее алгоритмы, которые позволяют однозначно приписать данному расходящемуся ряду некоторое конечное значение, причем эти значения не только единственны для каждого из рядов (если пользоваться одним и тем же алгоритмом), но и позволяют осмысленно сравнивать эти ряды между собой, например, по "скорости" расхождения и т.д.

Просто вот сумма ряда натуральных чисел в классическом понимании - это бесконечность, но у многих других рядов она тоже бесконечность. Например, у суммы факториалов натуральных чисел. Если мы построим график k-ых сумм от k для двух этих рядов, то это будут разные графики. Получается аналитическое выражение для этих рядов разное, частичные суммы разные, а сумма одинаковая. Что-то здесь не так. Вот отсюда и пошли методы расширительного, неклассического понимания суммы рядов.

7 апреля 2016  ·  3,5 K
Прочитать ещё 10 ответов

Как может пройти 1 секунда, если в ней бесконечное количество милли/микро (и тд) секунд? Ведь была 0,11 секунда, также была и 0,11111 (так до бесконечности)?

Radn  ·  2,2K
Бакалавр права, магистр финансов

Анатолий, Вы столкнулись с одним из парадоксов Зенона.

Вы рассуждаете приблизительно так: поскольку мы имеем бесконечное число частей, пусть с каждым разом всё более маленьких, так как их бесконечно много, то и их сумма должна равняться бесконечности.

В этом кроется ошибка. Ведь мы достоверно знаем, что в некоторых случаях можно складывать бесконечное множество частей, но получить конечную сумму.

Например, мы можем нарисовать квадрат с конечной и известной нам площадью -- скажем, 1 кв.м. Теперь разделим квадрат на две равные части. После -- разделим одну из половин ещё на две части. Затем -- одну из четвертей ещё на две...
Теоретически, Вы можете бесконечно долго делить каждую новую часть пополам, но общая площадь квадрата, тем не менее, по-прежнему будет конечной и равной 1 кв.м.

Теперь Вы можете применить ту же аналогию и с секундой.

24 марта 2019  ·  < 100

Сколько существует крутых чисел ( к примеру как 73 ) ?

Artyom B.  ·  493
Программист, Deutsche Bank

Теорема: все натуральные числа - крутые, то есть каждое число обладают как минимум одним интересным свойством.

Доказательство от противного. Предположим, что существуют некрутые натуральные числа. Поскольку множество натуральных чисел ограниченно снизу нулём, то среди подмножества некрутых чисел неизбежно найдется наименьшее. Но ведь самое маленькое некрутое число - это же круто! Тогда это число является одновременно и крутым, и некрутым, что невозможно. Доказательство от противного закончено, теорема доказана.

3 мая 2017  ·  445
Прочитать ещё 1 ответ

Объясните как такое равенство возможно: -1/1=1/-1. Ведь с левой стороны у нас меньшее число делится на большее, а с правой большее делится на меньшее. Как результаты этих действий могут быть равны?

Альберт М.  ·  38

-1/1 = 1/-1

i^6/i^4 = i^4/i^2   

i^2 = i^2

Объяснение получается элементарно, если смотреть в комплексных числах. Это поле упорядочить по принципу «больше» - «меньше» нельзя. Поэтому в такой постановке вопрос не имеет значения, потому что -1 это i^(2n) оно же е^(i*2pi*n)  где е = 2,718281828459045...., а n целое и больше 0  

Во избежание ошибок с интерпретацией, следует смотреть с более общих позиций (комплексные числа), а не с наиболее примитивных (отрицательные числа как то, что меньше 0)

20 августа 2019  ·  < 100
Прочитать ещё 2 ответа