Здравствуйте!
Так как сын является наследником первой очереди и прописан вместе с наследодателем на момент его смерти, то он считается фактически принявшим наследство, даже если не пойдет к нотариусу его оформлять.
Поэтому ничего не будет ни с пропиской, ни с домом - так и останется в его владении. При необходимости сын сможет оформить наследство даже после истечения срока для принятия наследства (6 месяцев с даты смерти отца).
Если сын принципиально по каким-то причинам не хочет вступать в наследство после отца (например, есть большие долги, которые также переходят по наследству), то ему необходимо подать нотариусу заявление об отказе от наследства.
Подробнее о фактическом принятии наследства рекомендуем прочитать нашу статью Исковое заявление об установлении факта принятия наследства.