Есть ли гены у растений?

Конечно же да.

Любой живой организм, по крайне мере у нас на Земле построен по определенной программе, записанной в ее носителях - генах. Одних и те же (с точки зрения биохимии), что для растений, что для животных, человека, бактерий, грибов и так далее...

Разумеется, как и в любом другом живом организме, способном к размножению, в растениях есть гены - носители наследственности, благодаря которым размножение и возможно.

Есть. Более того, иногда очень много.

Так считается, что у человека около 20 тысяч генов (https://www.nature.com/articles/d41586-018-05462-w). А у кукурузы по оценкам исследователей более 32 тысяч (https://www.nature.com/news/2009/091119/full/news.2009.1098.html).