Как доказать, что произведение трех последовательных чисел делится на 6?

Анонимный вопрос
  · 1,8 K
Люблю смотреть российские сериалы, играть в шахматы и путешествовать.
  1. Каждое второе число делится на 2, значит в каждой тройке есть число, которое делится на 2.

  2. Каждое третье число делится на 3, значит в каждой тройке есть число, которое делится на 3.

  3. Так как в произведение есть числа, которые делятся на 2 и на 3, значит произведение делится на 2*3=6.

25 января 2019  · 1,1 K
Комментировать ответ…
Вы знаете ответ на этот вопрос?
Поделитесь своим опытом и знаниями
Войти и ответить на вопрос
Читайте также

Что больше — сумма всех цифр или их произведение?

Ярый спортивный болельщик и, возможно, будущий политолог.

Конечно же сумма будет больше. Если сложить все цифры, которые существуют, (именно цифры, не числа) то получится 0+1+2+3... короче 45 получится) Но если мы начнем их все перемножать, то ответ ясен уже на первой паре, поскольку0*1=0, то есть при умножении на 0 всегда будет получаться 0.

22 ноября 2018  · 10,6 K
Прочитать ещё 1 ответ

Сколькими нулями оканчивается произведение первых 224 натуральных последовательных чисел?

Вадим Романский
Эксперт
2,3K
младший научный сотрудник ФТИ им. Иоффе  · vk.com/astropolytech

Количество нулей, это то сколько раз в разложении на множители встретится десятка. А десятка это пять на два. Понятно, что двойка встречается намного чаще, поэтому достаточно посчитать количество пятерок. Итак количество чисел, делящихся на пять 224/5=44. Но это еще не все, есть числа делящиеся на 25, дающие сразу две пятерки 224/25 = 8. И еще одну даёт 125, которое пять в кубе. Итого 44 + 8 + 1 = 53

Что такое числа Фибоначчи и почему их выделили в отдельную группу чисел?

Надежда Шихова
Эксперт
4,2K
Редактор и переводчик книг по математике   · zen.yandex.ru/maths

Числа Фибоначчи в Европе популяризовал Леонардо Пизанский (по прозвищу Фибоначчи – сын Боначчи), в задаче о кроликах:

Пусть в огороженном месте имеется пара кроликов (самка и самец) в первый день января. Эта пара кроликов производит новую пару кроликов (самку и самца) в первый день февраля и затем в первый день каждого следующего месяца. Каждая новорожденная пара кроликов становится зрелой уже через месяц и затем через месяц дает жизнь новой паре кроликов. Возникает вопрос: сколько пар кроликов будет в огороженном месте через год, то есть через 12 месяцев с начала размножения.

Оказывается, число кроликов по месяцам описывается последовательностью

1, 2, 3, 5, 8, 13,…

В ней каждое число равно сумме двух предыдущих. Условия задачи все равно нереалистичны, так что можно не стесняться: предположить, что кролики бессмертны, и продолжить последовательность до бесконечности:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155, ….

Есть свидетельства, что последовательность задолго до Леонардо была известна в Индии, и что в честь Фибоначчи ее назвал Эдуард Люка.

Про экспоненциальный рост

Как мы видим, последовательность очень быстро растет (экспоненциально, как последовательность степеней). Примерно как 1, 2, 4, 8, 16, 32, … или 1, 10, 100, 1000, … (тоже экспоненциальный рост.) Экспоненциальный рост вообще встречается в природе и в приложениях: так растут популяции, капиталы в банке, число радиоактивных атомов и число зерен на шахматной доске (Вы же помните легенду про жадного султана и бедного изобретателя шахмат ;))

В природе экспоненциальный рост имеет место лишь приблизительно и только в некоторых пределах.

Красивые фотографии

Последовательности в природе, напоминающие Фибоначчи, тоже похожи на Фибоначчи только приблизительно и в некоторых пределах. Широко известны примеры из мира растений: семена подсолнуха, сосновые шишки, лепестки цветков, ячейки ананаса. Видимо, здесь задействован один механизм (я скопировала первую попавшуюся картинку из интернета):

image.png

Отчасти популярность чисел Фибоначчи связана с такими красивыми картинками. В интернете их полным-полно.

А вот скажем, закон радиоактивного распада не менее поразителен, история его открытия драматична, человечество поставило его себе на службу… но он не так популярен в СМИ. Нет для него таких красивых картинок, да и описывается он дифференциальным уравнением, а любителей дифференциальных уравнений меньше, чем любителей красивых картинок.

В математике

В математике бывают объекты, которые задаются очень просто, но показывают удивительно сложные и многогранные связи между своими компонентами. Например: треугольник в планиметрии, конические сечения, треугольник Паскаля, простые числа, … Они завораживают нас как картинки в калейдоскопе. Чуть повернешь – и открываются новые узоры, новые свойства. Числа Фибоначчи –один из таких объектов. Каждый математик на пути в науку их обязательно встречал.

Чтобы перечислить все их удивительные свойства, нужна отдельная книга (и кстати, выходит журнал с таким названием, посвященный одним только числам Фибоначчи). Скажу только, что отношение каждого числа Фибоначчи к предыдущему приближает золотое сечение, и чем числа больше, тем приближение лучше.

Почему же математики выделили числа Фибоначчи в отдельную группу чисел

Потому что любят все классифицировать и раскладывать по полочкам. Раз есть объект – надо дать ему название. На сайте https://oeis.org/A000045 , где собраны большинство последовательностей чисел, встречающихся в математике, последовательность Фибоначчи идет под номером 45. Она вовсе не такая уж исключительная, кроме неё на этом сайте собрано около трети миллиона последовательностей. Каждая из них тоже представляет собой «отдельную группу чисел».

Специалист по теории чисел Леопольд Кронекер считал, что только одна из них создана Богом (и это вовсе не последовательность Фибоначчи, а другая, на сайте ее номер 27), а остальные – дело рук человеческих.

В целом журналисты несколько преувеличивают значимость чисел Фибоначчи: они, безусловно, прекрасны, но стоят в одном ряду с многими другими не менее прекрасными и полезными математическими объектами.

Корней, Матвей, Пантелей, прекрасная Матильда и негодяй ЕремейПерейти на zen.yandex.ru/maths
8 января  · 49,9 K
Прочитать ещё 3 ответа

Каждое ли чётное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел?

Надежда Шихова
Эксперт
4,2K
Редактор и переводчик книг по математике   · zen.yandex.ru/maths

Самое забавное в этом вопросе -- портрет Римана на обложке :)

А нужен был портрет Христиана Гольдбаха.

На самом деле портретов Гольдбаха до нас не дошло, и скорее всего, их и не существовало.

Он был человеком до крайности скрытным. Выдающиеся деятели той поры (годы жизни Гольдбаха 1690-1764) заказывали свои портреты, но не Гольдбах. Он служил в Коллегии иностранных дел, в "черном кабинете". Занимался дешифровкой писем и дослужился до чина тайного советника. Этим чином в российской империи награждали только дворян за особые заслуги перед Отечеством. Не каждый министр был тайным советником, а выше тайного советника -- только канцлер.

Эйлеру, например, чин тайного так и не дали. Говорят, императрица изволила шутить так: «Тайных советников у меня много, а Эйлер один».

А вопрос о сумме простых чисел появился в переписке Гольдбаха с Эйлером.

Видимо, в коллегии иностранных дел Гольдбаху не хватало ученых занятий, так что примерно с 1742 года математика становится его хобби, и он много переписывается на эту тему. В первую очередь, с Эйлером, но не только. 7 июня 1742 года в письме Эйлеру он высказал свое отношение к гипотезам и свою знаменитую гипотезу тоже:

«Я считаю небесполезными и такие предложения, которые весьма вероятны, хотя и не достает их настоящего доказательства, ибо если даже они затем окажутся ложными, они могут дать повод к открытию какой-либо новой истины» и далее: «Таким образом, я хочу решиться высказать предположение ... каждое число, большее чем 2, есть сумма трех простых чисел».

А Эйлер ответил, что еще ранее Гольдбах сообщил ему другое свое наблюдение:

«Каждое четное число есть сумма двух простых чисел... Если же число нечетное, то оно несомненно сумма трех п[ростых] ч[исел]... А что каждое четное число есть сумма двух простых, я считаю верной теоремой, хотя и не могу ее доказать».

(цит. по книге А.П.Юшкевич, Ю.Х.Копелевич "Христиан Гольдбах")

image.png

Предположение о том, что каждое нечетное число есть сумма трех простых, называют тернарной (от слова три) гипотезой Гольдбаха. Предположение о том, что каждое четное число есть сумма двух простых -- бинарной гипотезой Гольдбаха.

Гольдбах считал единицу простым числом, поэтому его формулировки были столь простыми. Сейчас единицу не считают простым числом, поэтому дают уточнение, что четное число должно быть больше 2, а нечетное -- больше 5. Если вы уже забыли, почему читаете этот текст: вопрос в том, верна ли бинарная гипотеза Гольдбаха для чисел больше 2.

В 1937 году И.М.Виноградов доказал, что тернарная гипотеза верна для всех достаточно больших нечетных чисел. "Достаточно большие" числа были столь огромны, что для меньших чисел гипотезу вручную проверить нельзя. Окончательно ее доказал в 2013 году Харальд Гельфготт.

Как ни просто звучит бинарная гипотеза Гольдбаха, ее до сих пор не удалось ни опровергнуть, ни полностью доказать.

image.png
Корней, Матвей, Пантелей, прекрасная Матильда и негодяй ЕремейПерейти на zen.yandex.ru/maths
5 дней назад  · 11,9 K
Прочитать ещё 1 ответ

Можете доступно изложить доказательство великой теоремы Ферма?

Tergiversator, hypotheticus

Доступно, к сожалению, получится навряд ли. Множество ученых и неученых умов, так называемых в математическом кругу "ферматистов", расшибались о твердь недоступности этой величественной теоремы.

Классическое доказательство ВТФ в основном опирается на модулярные эллиптические кривые, в частности, должное внимание уделяется кривым Фрея и гипотезе Таниямы. Логика доказательства состоит всего, от силы, из 5-6 последовательных пунктов, которые, тем не менее, требуют глубокого анализа и исследования.

Кстати говоря, среди ферматистов бытует мнение, что Уайлс доказал справедливость гипотезы Таниямы в качестве, так сказать, леммы для утверждения Рибета (о немодулярности кривых Фрея). Поэтому, строго говоря, это несправедливо, что все лавры почета достались одному только Уайлсу. Это я так, о профессиональной этике.

17 января 2016  · 1,7 K
Прочитать ещё 6 ответов