Как построить сечение тетраэдра?

Анонимный вопрос
  · 376
Вы знаете ответ на этот вопрос?
Поделитесь своим опытом и знаниями
Войти и ответить на вопрос
1 ответ
Обожаю точные науки и испытываю огромный интерес к творчеству. При таком...

Отступив одинаковое расстояние от точек вершин основания, поставить точки на рёбрах. Соединить точки рёбер отрезками. Закрасить ограниченную область.

Комментировать ответ…
Читайте также

Какая теорема в геометрии не доказана?

Андрей Плахов
Эксперт
885
Кандидат физ.-мат. наук, делаю Яндекс, увлекаюсь всем на свете

Например, если вы докажете гипотезу Ходжа, то вы получите приз в миллион долларов. К сожалению, даже формулировку этой гипотезы объяснить неспециалисту практически невозможно. Достаточно сказать, что речь в ней идёт не о двумерных конструкциях (как в школьной геометрии) и не о трехмерных (как в стереометрии), а о многомерных, координаты в этих пространствах не обычные числа, а комплексные. И это только начало.

До 2003 года был чуть более простой для восприятия пример важной недоказанной геометрической теоремы, так называемая гипотеза Пуанкаре (тоже "задача на миллион"). Но эту задачу решил российский математик Григорий Перельман, а от миллиона отказался. Наверное, вы что-нибудь об этом слышали!

29 июня  · 65,8 K
Прочитать ещё 13 ответов

Как понять уравнение Шрёдингера?

Занимаюсь разработкой игр. Веду активный образ жизни, связанный с акробатикой и...

Самую большую проблему для понимания здесь вызывает волновая функция. Вот ее и попробую объяснить без деталей.

ψ - обозначает все возможные состояния системы. Например, представим, что яблоко может находится только в одном из следующих мест: на полке, на столе, на полу.

Значит волновая функция яблока будет выглядеть следующим образом:

ψ|яблоко> = |на полке> + |на столе> + |на полу>

| > - таким образом обозначает состояние.

Мы так же знаем, что яблоки чаще встречаются на столе, чем на полу. Поэтому у каждого состояния есть вероятность. Допустим, что на столе яблоке бывают в 50% случаях, на полке в 40% случаях и на полу они встречаются лишь в 10% случаях.

Теперь наша волновая функция яблока выглядит следующим образом:

ψ (яблоко) = a * |на полке> + b * |на столе> + c * |на полу>

a = 50%

b = 40%

c = 10%

Еще одна проблема - понять, что такое Ĥ - гамильтониан.

Чтобы это понять, необходимо изучить физику с самых основ, поэтому дам совершенно общее представление:

Ĥ - это такая штука, которая определяет куда и как будет двигаться частица.

14 января 2016  · 3,4 K
Прочитать ещё 1 ответ

Как из развертки правильного тетраэдра получить 16 равных частей?

Интересы часто менялись, поэтому во многих областях знаний что-то знаю:)

Тетраэдр это геометрическое тело из четырех граней, каждая их которых - правильный треугольник.
Чтобы получить 16 равных частей, нужно разрезать развертку по ребрам тетраэдра - так получим 4 равных равносторонних треугольника. Затем каждый треугольник нужно разрезать вот так.

https://i.stack.imgur.com/eKSHD.png

Кто и как доказал теорему Пуанкаре?

Надежда Шихова
Эксперт
3,5K
Редактор и переводчик книг по математике   · zen.yandex.ru/maths

Самое интересное в истории с гипотезой Пуанкаре, -- не кто и как, а что именно. Григорий Перельман справился с большей проблемой, а гипотеза Пуанкаре получилась как простое следствие (и не самое значительное) из его работы.

К концу XIX века уже были известны топологические типы двумерных «хороших» поверхностей. Довольно трудно объяснить, какие поверхности «хорошие», но я нарисую кое-что нехорошее:

Пуанкаре 0.jpg

У поверхности окрестность любой точки должна быть похожа на диск. Под номером 1 – не поверхность, ведь у выделенной точки ближайшая окрестность – трехлепестковая штучка, а не просто диск. Хорошая поверхность должна быть связной, безграничной и конечной

Хорошие поверхности уже можно классифицировать.

Пуанкаре 1.jpg

Скажем, поверхности мяча, бублика и кренделя – разных типов, непрерывными преобразованиями нельзя одну деформировать в другую. Непрерывно деформировать – значит растягивать, сжимать и скручивать, но только не рвать и не склеивать кусочки.

Здесь важно, что мы, жители 3-мерного пространства, с одного взгляда отличаем эти поверхности. А что же их плоские обитатели, которые не могут выбраться в третье измерение? Им было бы непросто разобраться, что представляет собой мир, в котором они живут. Скажем, муравей, который живет на бублике, не видит дырки от бублика – он воспринимает только двумерную поверхность, на которой живет. Но муравей может расположить на поверхности веревочную петлю, которую невозможно стянуть в точку. Так он и определит, что живет не на сфере, ведь на сфере любая петля в точку стягивается.

Нам, обычным трехмерным жителям привычного трехмерного пространства, тоже непросто разобраться, что представляет собой мир, в котором мы живем! Мы не можем выбраться в следующее измерение, чтобы посмотреть на наш мир снаружи. Придется научиться характеризовать трехмерный мир по его внутренней природе, а не по тому, как он вписывается в гипотетическое следующее измерение.

В начале XX века Анри Пуанкаре хотел разобраться с трехмерными многообразиями (аналогами поверхностей). Он высказал обманчиво простое утверждение:

если на трехмерном многообразии (без границы, конечном) любой контур стягивается в точку, оно должно быть топологически эквивалентно 3-мерной сфере.

Пуанкаре 4.jpg

3-мерная сфера – непростой объект. Возьмем двумерный диск в виде гибкой пленки с границей в виде гибкого шнурка. Продавим диск, чтобы получился этакий мешок, а потом стянем шнурок-границу в точку. Получим 2-мерную сферу, на которую мы смотрим из трехмерного пространства. Теперь сделаем то же самое с трехмерным диском (обычно мы называем трехмерный диск шаром). Стянем его границу в точку и получим 3-мерную сферу. Говорят, есть такие люди, которые могут это с легкостью представить.

Эту гипотезу можно обобщить; обобщенная гипотеза Пуанкаре говорит примерно то же самое, но только для размерностей выше 3. И вот для больших (больше 4) размерностей ее доказал в 1960-1970-х годах прошлого века Стивен Смейл (он составлял список задач XXI века и поместил в него гипотезу Пуанкаре).

Для размерности 4 доказательство придумал Марк Фридман в 1982 году. И только родная, домашняя размерность 3 никак не поддавалась.

Тем временем топология не стояла на месте. Уильям Тёрстон придумал способ классифицировать все трехмерные многообразия. Это куда круче, чем характеризовать одну только 3-мерную сферу. Он придумал разбивать любое трехмерное многообразие на куски, на каждом из которых реализуется одна из восьми стандартных геометрий. На помощь топологии Тёрстон призвал геометрию с такими элементами как расстояния и углы – топология обычно их и не рассматривает. Так возникла программа геометризации Тёрстона – охарактеризовать каждое трехмерное многообразие набором геометрий на нем. Гипотеза Пуанкаре стала бы просто следствием этой программы.

В 1982 году Ричард Гамильтон придумал новый метод в геометрическом анализе – потоки Риччи. Этот метод позволял преобразовывать метрику пространства: там, где кривизна отрицательная, -- увеличить, там, где большая положительная, -- уменьшить. И если исходное многообразие было похоже на сферу, оно в сферу и превратится.

Пуанкаре 3.jpg

Но с этими потоками Риччи была такая беда: при таком преобразовании иногда возникали особенности. Особенности мешали потокам течь куда надо, и тогда Билл Браудер и Джон Милнор придумали метод хирургии: надо разрезать сингулярность и заклеить потом места разреза. К несчастью, эти сингулярности иногда ведут себя как многоголовая гидра – от одной избавляешься, а несколько появляются.

Гамильтон все же сумел применить методику потоков Риччи так, чтобы провести классификацию двумерных поверхностей. Это показало силу метода, но не более: двумерные поверхности были классифицированы задолго до того. Но и в размерности три Гамильтон смог продвинуться очень далеко. Он открыл новый путь в математике, хотя и не прошел по нему до конца.

Справиться с гидрой сингулярностей смог Григорий Перельман: он показал, что сингулярности не будут множиться бесконечно, рано или поздно они прекратятся. В первой из трех статей по предмету Перельман прямо писал, что дает краткий набросок доказательства гипотезы геометризации (Тёрстона).

image.png

После были ещё статьи и долгое их обсуждение в математическом сообществе. Что же сделал Перельман? Доказывал ли он гипотезу Пуанкаре?

На самом деле он справился с трудностями метода потоков Риччи и тем самым доказал гипотезу геометризации Тёрстона. И в качестве приятного бонуса отсюда следовала истинность гипотезы Пуанкаре. Вот за этот бонус и полагалась миллионная премия института Клэя, а вовсе не за основной результат.

Перельман отказался от премии в миллион долларов за доказательство гипотезы Пуанкаре. И объяснял это, в частности, тем, что основная работа сделана не им. Журналисты не могли пройти мимо и не написать о Перельмане; по дороге выяснилось, что способ жизни Перельмана очень своеобразный, и это стало другим поводом о нем писать. Фотографии и детали личной жизни привлекали внимание читателей гораздо больше, чем смысл его работы.

А если бы Перельман взял миллион? Из этого хайп сделать было бы еще проще: обвинить его в том, что Перельман забрал премию, хотя основную работу сделал Гамильтон. И все, до конца дней не отмылся бы.

9 ноября 2019  · 31,5 K
Прочитать ещё 6 ответов

Почему число Пи бесконечно?

Переводчик-синхронист, руководитель агентства переводов, спикер TEDx

Число пи не бесконечно, оно вполне небольшое, больше трех, но меньше четырех.

Этот вопрос подчеркивает одно очень распространенное заблуждение, на самом деле число и его десятичное представление - это не одно и то же. Само число пи - это всего лишь точка на числовой оси. Но для того, чтобы его точно записать используя привычную нам десятичную систему счисления необходимо бесконечное количество знаков после запятой.

Вопрос откуда мы знаем, что число десятичных знаков после запятой бесконечно и что последовательности цифр не повторяются более сложный. Это характерно для т.н. иррациональных чисел, чисел которые нельзя представить в виде дроби m/n, где m - целое число, n - натуральное число (любое целое число кроме нуля). Любое развернутое доказательство иррациональности числа пи занимает как минимум полстраницы мелким шрифтом. Самое простое доказательство того, что пи - число иррациональное из тех что я встречал состоит в том, что число пи равно половине косинуса нуля а далее методом доказательства от противного следует, что пи не является результатом деления целых чисел.

5 апреля 2017  · 4,1 K
Прочитать ещё 2 ответа