Как сформулировать доказательство теоремы Ферма?

Анонимный вопрос
  · 696
тыжпрограммист  · tele.click/origin_of_species

Насколько мне известно, хорошего популярного изложения доказательства великой теоремы Ферма (x^n+y^n=z^n) пока нет, несмотря на то, что теорема доказана в 1994.

"Малая" теорема Ферма (или просто "теорема Ферма") формулируется так:

fermat.png

Простое доказательство есть в классической книге "Что такое математика" (по ссылке) на страницах 61-62. Оно же приведено в Википедии в разделе "Доказательство > Элементарное доказательство".

Комментировать ответ…
Вы знаете ответ на этот вопрос?
Поделитесь своим опытом и знаниями
Войти и ответить на вопрос
Читайте также

Кто и как доказал теорему Пуанкаре?

Надежда Шихова
Эксперт
4,2K
Редактор и переводчик книг по математике   · zen.yandex.ru/maths

Самое интересное в истории с гипотезой Пуанкаре, -- не кто и как, а что именно. Григорий Перельман справился с большей проблемой, а гипотеза Пуанкаре получилась как простое следствие (и не самое значительное) из его работы.

К концу XIX века уже были известны топологические типы двумерных «хороших» поверхностей. Довольно трудно объяснить, какие поверхности «хорошие», но я нарисую кое-что нехорошее:

Пуанкаре 0.jpg

У поверхности окрестность любой точки должна быть похожа на диск. Под номером 1 – не поверхность, ведь у выделенной точки ближайшая окрестность – трехлепестковая штучка, а не просто диск. Хорошая поверхность должна быть связной, безграничной и конечной

Хорошие поверхности уже можно классифицировать.

Пуанкаре 1.jpg

Скажем, поверхности мяча, бублика и кренделя – разных типов, непрерывными преобразованиями нельзя одну деформировать в другую. Непрерывно деформировать – значит растягивать, сжимать и скручивать, но только не рвать и не склеивать кусочки.

Здесь важно, что мы, жители 3-мерного пространства, с одного взгляда отличаем эти поверхности. А что же их плоские обитатели, которые не могут выбраться в третье измерение? Им было бы непросто разобраться, что представляет собой мир, в котором они живут. Скажем, муравей, который живет на бублике, не видит дырки от бублика – он воспринимает только двумерную поверхность, на которой живет. Но муравей может расположить на поверхности веревочную петлю, которую невозможно стянуть в точку. Так он и определит, что живет не на сфере, ведь на сфере любая петля в точку стягивается.

Нам, обычным трехмерным жителям привычного трехмерного пространства, тоже непросто разобраться, что представляет собой мир, в котором мы живем! Мы не можем выбраться в следующее измерение, чтобы посмотреть на наш мир снаружи. Придется научиться характеризовать трехмерный мир по его внутренней природе, а не по тому, как он вписывается в гипотетическое следующее измерение.

В начале XX века Анри Пуанкаре хотел разобраться с трехмерными многообразиями (аналогами поверхностей). Он высказал обманчиво простое утверждение:

если на трехмерном многообразии (без границы, конечном) любой контур стягивается в точку, оно должно быть топологически эквивалентно 3-мерной сфере.

Пуанкаре 4.jpg

3-мерная сфера – непростой объект. Возьмем двумерный диск в виде гибкой пленки с границей в виде гибкого шнурка. Продавим диск, чтобы получился этакий мешок, а потом стянем шнурок-границу в точку. Получим 2-мерную сферу, на которую мы смотрим из трехмерного пространства. Теперь сделаем то же самое с трехмерным диском (обычно мы называем трехмерный диск шаром). Стянем его границу в точку и получим 3-мерную сферу. Говорят, есть такие люди, которые могут это с легкостью представить.

Эту гипотезу можно обобщить; обобщенная гипотеза Пуанкаре говорит примерно то же самое, но только для размерностей выше 3. И вот для больших (больше 4) размерностей ее доказал в 1960-1970-х годах прошлого века Стивен Смейл (он составлял список задач XXI века и поместил в него гипотезу Пуанкаре).

Для размерности 4 доказательство придумал Марк Фридман в 1982 году. И только родная, домашняя размерность 3 никак не поддавалась.

Тем временем топология не стояла на месте. Уильям Тёрстон придумал способ классифицировать все трехмерные многообразия. Это куда круче, чем характеризовать одну только 3-мерную сферу. Он придумал разбивать любое трехмерное многообразие на куски, на каждом из которых реализуется одна из восьми стандартных геометрий. На помощь топологии Тёрстон призвал геометрию с такими элементами как расстояния и углы – топология обычно их и не рассматривает. Так возникла программа геометризации Тёрстона – охарактеризовать каждое трехмерное многообразие набором геометрий на нем. Гипотеза Пуанкаре стала бы просто следствием этой программы.

В 1982 году Ричард Гамильтон придумал новый метод в геометрическом анализе – потоки Риччи. Этот метод позволял преобразовывать метрику пространства: там, где кривизна отрицательная, -- увеличить, там, где большая положительная, -- уменьшить. И если исходное многообразие было похоже на сферу, оно в сферу и превратится.

Пуанкаре 3.jpg

Но с этими потоками Риччи была такая беда: при таком преобразовании иногда возникали особенности. Особенности мешали потокам течь куда надо, и тогда Билл Браудер и Джон Милнор придумали метод хирургии: надо разрезать сингулярность и заклеить потом места разреза. К несчастью, эти сингулярности иногда ведут себя как многоголовая гидра – от одной избавляешься, а несколько появляются.

Гамильтон все же сумел применить методику потоков Риччи так, чтобы провести классификацию двумерных поверхностей. Это показало силу метода, но не более: двумерные поверхности были классифицированы задолго до того. Но и в размерности три Гамильтон смог продвинуться очень далеко. Он открыл новый путь в математике, хотя и не прошел по нему до конца.

Справиться с гидрой сингулярностей смог Григорий Перельман: он показал, что сингулярности не будут множиться бесконечно, рано или поздно они прекратятся. В первой из трех статей по предмету Перельман прямо писал, что дает краткий набросок доказательства гипотезы геометризации (Тёрстона).

image.png

После были ещё статьи и долгое их обсуждение в математическом сообществе. Что же сделал Перельман? Доказывал ли он гипотезу Пуанкаре?

На самом деле он справился с трудностями метода потоков Риччи и тем самым доказал гипотезу геометризации Тёрстона. И в качестве приятного бонуса отсюда следовала истинность гипотезы Пуанкаре. Вот за этот бонус и полагалась миллионная премия института Клэя, а вовсе не за основной результат.

Перельман отказался от премии в миллион долларов за доказательство гипотезы Пуанкаре. И объяснял это, в частности, тем, что основная работа сделана не им. Журналисты не могли пройти мимо и не написать о Перельмане; по дороге выяснилось, что способ жизни Перельмана очень своеобразный, и это стало другим поводом о нем писать. Фотографии и детали личной жизни привлекали внимание читателей гораздо больше, чем смысл его работы.

А если бы Перельман взял миллион? Из этого хайп сделать было бы еще проще: обвинить его в том, что Перельман забрал премию, хотя основную работу сделал Гамильтон. И все, до конца дней не отмылся бы.

Корней, Матвей, Пантелей, прекрасная Матильда и негодяй ЕремейПерейти на zen.yandex.ru/maths
9 ноября 2019  · 37,6 K
Прочитать ещё 9 ответов

Современная теорема Ферма, сколько возможных вариантов доказатльства существует?

Любитель физики и матана.

Если речь о малой теореме Ферма, то есть одно элементарное доказательство и три-четыре неэлементарных (с помощью методов алгебры). Если речь о большой теореме Ферма, то такое доказательство предоставлено только одно. И оно очень сложное.

Прочитать ещё 1 ответ

Объясните теорему Гёделя о неполноте простым языком для нематематика пожалуйста. Постулаты, практическое значение, влияние на философию?

выпускник НГУ

Не хотелось мне отвечать на этот вопрос, но судя по тому какую херню тут пишут - все же придется.

Во-первых Теорема Геделя - это Теорема о свойствах конкретной формальной системы - арифметике Пеано (один из способов аксиоматического описания натуральных чисел). Теорема утверждает о том, что в арифметике Пеано существует формула, которую нельзя ни доказать ни опровергнуть средствами самой арифметики. 

Вот собственно и все, особого практического значения здесь нет никакого. Однако философское осмысление теоремы разные люди начали переиначивать на свой лад. Некоторые кибернетики говорили, что она утверждает невозможность искусственного интеллекта как такового. Физиологи говорили, например, о тщетности опытов с собаками Павлова, от которых требовалось детерминированное поведение. Физики говорили о невозможности описания сложных физических объектов (черных дыр и проч.). Про что говорили журналисты, я вообще молчу. И меньше всего интерпретацией занимались, наверно, сами математики.

Все эти утверждения возможно и верны, но они не имеют никакого отношения к теореме Геделя. Потому что теорема Геделя утверждает только о свойствах арифметики Пеано. И даже факт того, что какие-то формулировки не могут быть доказаны самой системой - не является смертельным, так как 1) они могут быть неинтересны в практическом смысле, 2) могут быть доказаны в рамках другой формальной системы.

6 ноября 2016  · 5,7 K
Прочитать ещё 6 ответов

Существуют ли аналоги теоремы Ферма, такие же сложнодоказуемые, но менее известные?

Dastar Ron7,3K
Студент, будущий математик, программист, повар и просто фанат гугла

На сколько я понимаю, вы говорите про великую теорему Ферма. Ее доказали в 95 году после примерно 300 лет попыток. Один из факторов ее популярности в том, что она банальная до невозможности. Вам не нужны никакие особые знания для того, что бы понять хотя бы о чем идет речь. Другой фактор в том, что сам Ферма назвал ее доказательство банальной вещью, но у него не хватило места для записи. Скорее всего, в его версии была ошибка, так как простого доказательства так и не нашли.

Другая очень популярная теорема - это теорема Пифагора. У нее больше всего доказательств, которыми можно заполнить не одну полку в библиотеке.

Есть abc-гипотеза. Для ее доказательства один японский математик разработал новую ветвь в математике, но до сих пор есть шанс, что это доказательство ложное. Самый сок этой гипотезы в том, что многие теоремы верны только тогда, когда эта гипотеза верна. Другие доказали с допущением того, что эта гипотеза верна. И если она не верна, то многое прийдется пересматривать в математике.

Есть гипотеза Пуанкаре. Доказана в 2006 году. В отличии от многих других теорем, ее сложность была в том, что либо ты ее доказываешь, либо теряешь кучу времени. Многие другие теоремы совершенно другие: даже если ты их не доказал, ты можешь опубликовать некоторые выводы (отсутствие результата тоже результат).

Есть семь задач тысячилетия. Одна из них - гипотеза Пуанкаре. Остальные так и не решены.

Эти семь задач тысячилетия, они капля среди того моря всех открытых математических проблем. Некоторые из них никто не может доказать. За другие мало кто берется, так как они не особо важны. Есть среди них "классические": такие, над которыми рано или поздно подумает любой математик. А еще есть такие, которые проверили для огромного числа вариантов (с помощью компьютера), но все равно не могут доказать.

Есть проблема четырех красок. Сформулировали эту теорему еще в 19 веке, но до 70х годов так и не доказали. Есть похожая теорема, проблема пяти красок, доказательство которой довольно простое и студентам ее показывают еще на первом году обучения. А эту проблему смогли решить только с помощью компьютера. Сначала проблему свели к относительно маленькому количеству вариантов, после чего компьютер все эти варианты перебрал. Чисто математического доказательства нет до сих пор.

Математика не ограничивается последней теоремой Ферма. Есть огромное количество решенных задач, среди которых студентам показывают только самые простые, которые можно доказать максимум за четыре часа (за редким исключением). Для доказательств многих других нужно разбираться в теме довольно долгое время. Для тех, кто решил посвятить свою жизнь математике всегда будет над чем заняться. Огромное количество литературы посвященно нерешенным задачам. Для решение некоторых даже не нужно быть математиков. К примеру поиск новых простых чисел. Самое большое, которое нашли на сегодняшний день, в распечатаном виде занимает три больших тома размеров А4 каждый исписанные мелким шрифтом, а ведь это не предел.

Прочитать ещё 2 ответа

Доказана ли Великая теорема Ферма полностью?

Nikita Kа.17,1K
Хочешь что-нибудь почитать - чти меня.  · t.me/trolleys

Это зависит от того, что вы понимаете под "полной доказанностью".

Математик Уайлс опубликовал свой финальный вариант доказательства в 1995 году. Это доказательство было проверено рядом математиков и признано ими верным и корректным. Остальные математики в массе своей доверились авторитету проверивших доказательство и считают его верным. За прошедшие с момента публикации 24 года ошибок в нем не было обнаружено

Перед вами открыты простые пути:

  • вы можете довериться авторитету математического сообщества и верить, что доказательство Уайлса корректно, как это делают они.
  • вы можете изучить математику в объеме, нужном для проверки 130-страничного доказательства и самостоятельно решить, считаете ли вы его корректным
  • вы можете обвинить математиков в заговоре с целью скрыть правду и отказаться принимать на веру это доказательство (и заодно всю математику, к нему ведущую - кто знает, как много правды скрыто от нас?)
    Кажется, что это уникальная ситуация, но нет, сплошь и рядом, буквально по каждому пункту актуальной науки перед всеми, в том числе и учеными, стоит выбор из этих трех дорог. Даже когда человек уже обладает необходимыми компетенциями для проверки того или иного доказательства, ему может мешать отсутствие времени или средств - это математикам достаточно карандаша, а физикам порой и триллиона долларов может быть мало. Эта ситуация не нова, она была таковой если не всю историю науки, то большую ее часть.

Поэтому доверие и честность - одни из наиболее фундаментальных этических ценностей науки и методология в значительной степени выстроена так, чтобы способствовать их поддержанию - лжец всегда находится под угрозой проверки, а ценой провала может оказаться весь его научный авторитет.

А о заговоре в науке обычно говорят те, кто не сумел убедить никого из пошедших вторым путем.