Вопрос поставлен не вполне корректно. Смотря для кого.
Согласно Галахе - иудейскому религиозному закону, - еврей тот, кто рождён матерью-еврейкой и тот, кто совершил гиюр, т.е. принял ортодоксальный талмудический иудаизм в строгом соответствии со всеми установленными канонами и традициями. Если с определением еврейства по рождению всё более-менее понятно, то с принятием иудаизма следует пояснить. С точки зрения Галахи, русские "субботники", прошедшие процедуру гиюра - присоединения к ортодоксальному иудаизму, стали евреями, хотя и "герами", т.е. евреями не по рождению, а по факту принятия иудаизма. Примечательно, что евреям по рождению запрещено попрекать геров их нееврейским происхождением, поскольку сам родоначальник евреев - Авраам - фактически был гером. И вместе с тем, некоторые ограничительные отличия в отношении геров в ортодоксальной среде всё-таки существуют. Так, потомки священников Иерусалимского Храма, т.н. "коэны", должны жениться исключительно на этнических еврейках.
Также, с точки зрения Талмуда, "еврей, даже согрешив, остаётся евреем". Т.е. даже вероотступник, например, еврей, принявший крещение, перешедший в ислам или заявивший о своём атеизме, не перестаёт считаться евреем, хотя и совершившим, с точки зрения ортодоксального талмудического иудаизма, тягчайший грех.
В Российской империи определяющее значение имела именно религиозная принадлежность. Широко известные ограничения в правах распространялись на "лиц иудейского исповедания" по принципу принадлежности к иудейской религиозной общине, а не к еврейскому народу. Еврей, принявший крещение, сразу избавлялся от большинства этих ограничений, и в первую очередь получал право проживать за пределами черты осёдлости. И всё же полноправие "выкрестов" было неполным: их было запрещено принимать на службу в корпус жандармов, рукополагать в православные священники, производить в офицерские чины.
В нацистской Германии, в свою очередь, религиозная принадлежность не имела ровным счётом никакого значения: в огне Холокоста сгинуло множество евреев-лютеран и евреев-католиков, а также убеждённых атеистов. Содержание печально известных Нюрнбергских расовых законов и определение критериев еврейства по ним пересказывать не буду - всё можно легко найти в открытом доступе.
В СССР существовало понятие "национальность" - документально закреплённая этническая принадлежность (знаменитая пятая графа). Определялась она национальной принадлежностью родителей, причём если оба родителя были одной национальности, то в пятую графу она и вписывалась, а если разных, то вписывалась национальность по отцу. Религиозные каноны, языковая принадлежность и т.д. никакого значения не имели и во внимание не принимались. С 1975 г. детям от смешанных браков при получении паспорта разрешили выбирать между национальностью отца и матери. Так появилось немалое число "русских по паспорту" - во избежание осложнений на учёбе, работе и в быту многие молодые люди, у которых отец - еврей, а мать - русская, записывались русскими, что, интересным образом, не противоречило и галахическим канонам. Знаменитое "у меня мама русская, а папа юрист" - тоже отголосок тех времён.