Как будет Алексей по-английски?

Вы удивитесь, но это будет так, как напишут у Вас в загранпаспорте (если только Вы не нашли метода убедить их написать по-другому).

Если же заграна нет, тогда следующее. У многих переводчиков с годами формируются свои предпочтения: я бы передал (не перевел) Ваше имя как Alexey, поскольку в сравнении с Alexei/Aleksei в последней букве моего варианта мне видится графическая завершенность, да и привык я ударный слог закрывать игреком. (Sochi – скорее, исключение здесь). Что до ks vs x, зачем нагромождать?