Как меняется значение скорости движения планеты при ее перемещении?

Именно с таких вопросов зарождалась наука в том современном виде, в котором она пребывает в настоящее время :) Давайте разбираться.

Во-первых, почему вообще возможно обращение каких-либо тел по орбитам? Я нарисовал популярную и внятную аналогию в виде четырёх картинок, где производится выстрел из пушки. В первом случае ϑ₁ = 0, это равносильно, если что-то просто уронить в поле тяготения нашей планеты -- предмет устремится вниз, попросту упадёт. Окей, во втором случае ϑ₂ уже больше нулевой -- пушечное ядро сколько-то пролетит вперёд, но под действием тяготения всё же упадёт на землю. В случае ϑ₃ -- объект пролетит ещё дальше, но из цепких гравитационных уз ему не вырваться. Наконец, при ϑ₄ объект будет иметь достаточную скорость, чтобы не упасть, а выйти на орбиту.

Что касается неравномерной скорости объектов в различных положениях на орбите -- астрономы отошлют к законам Кеплера. На заре зарождения современной науки (а я в своей системе отсчёта примерно датирую таковую с момента, когда датский астроном Тихо Браге имел солидный запас наблюдательных данных, где за время двадцатилетних наблюдений орбита Марса капитально не вписывалась в систему мира Птолемея), Иоганн Кеплер на основе анализа накопленных данных (примерно за ~20 лет кропотливого труда по дешифровке длинных столбцов цифр) интуитивно и эмпирически сформулировал три закона, названых в его честь. Действительно, из этих законов следует, что Солнце находится в одном из фокусов эллипса, а эллипс представляет собой орбиту планеты. Частный случай эллипса -- круг. Земля находится на почти круговой орбите (это должно удивить тех, кто считает, что зима наступает потому что Земля бывает дальше от Солнца, подробнее про времена года тут). Солнце содержит в себе ~99.9% массы Солнечной системы и расположено примерно в общем фокусе эллипсов, описываемых всеми планетами Солнечной системы. Окей, что же со скоростями планет в разных точках орбит?

Второй закон Кеплера гласит, что радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равновеликие площади (синего цвета на рисунке). То есть, секториальная скорость планеты постоянна. Это наглядная иллюстрация того, что на орбите в ближайшей точке к Солнцу линейная скорость планеты будет больше, чем в максимально удалённой точке орбиты. Казалось бы, это ответ на вопрос, но давайте глубже разберёмся отчего так?

Ньютон разобрался в этом около ~300 лет назад, попутно явив миру закон тяготения, изобретя дифференциальное и интегральное исчисления, а так же позволяющие записать уравнения движения механических систем законы Ньютона. Смог он так давно -- сможем и мы (опираясь на его труды). Нам потребуются: знание векторного произведения, внимательность, законы Ньютона.

Часто можно услышать от "знающих" людей, что виной происходящему в Солнечной системе сохранение момента импульса. Если же спросить знатоков, что же такое момент импульса и как он сохраняется -- ответ не всегда можно услышать, по крайней мере, правильный). Что за такие моменты и как они работают? Если это постичь и понять -- можно половину явлений вокруг сразу объяснить) Так что -- остановимся на этом подробнее.

Итак, рассмотрим два важнейших понятия -> момент силы (относительно некоторой точки) N̄ = [r̄, F̄] и момент импульса L̄ = [r̄, p̄] (где r̄ -- радиус-вектор, F̄ -- сила, p̄ -- импульс). Это величи́ны, которые характеризуют вращательное движение.

Посмотрите внимательно на картинку. Момент силы F̄ (направленной в сторону B) относительно точки A (из которой направлен радиус-вектор r̄ до объекта, к которому приложена сила) согласно правилу векторного произведения направлен от нас. Вектор N̄ перпендикулярен векторам F̄ и r̄. Модуль вектора |N̄|=|r̄|·|F̄|·sin(α) -> где α -- угол между ве́кторами. Что же касается момента силы относительно точки B -- поскольку векторы r̄ (из точки B) и F̄ коллинеарны, то N̄ = 0.

Хорошо, обратимся теперь к законам Ньютона. Что они гласят?

А если N̄ = 0, то и момент импульса не меняется. То есть, L̄ = const (он постоянен). Это и есть закон сохранения момента импульса -- суммарный момент импульса замкнутой системы будет сохраняться, если отсутствуют моменты внешних сил или их сумма равна нулю.

Посмотрим на движущуюся планету с импульсом p̄ по орбите вокруг Солнца. Не будь силы F̄ -- планета улетела бы прочь (за счёт импульса). Радиус-вектор r̄ от силового центра направлен к планете, сила притяжения F̄ направлена обратно. Модуль векторного произведения N = |r̄|·|F̄|·sin(α) = 0 (при α = π). То есть, сила есть, но момент силы равен нулю. Значит, имеет место сохранение момента импульса. А чему равен модуль момента импульса? L = |r̄|·|p̄|·sin(β). И величина эта постоянна. Из геометрии на рисунке видно, что |r̄|·sin(β) = ℓ. Это плечо импульса (кратчайшее расстояние от точки/оси вращения до линии действия импульса). В удалённых частях орбиты от силового центра плечо ℓ велико, а величина импульса p невелика. Поскольку величина p·ℓ постоянна -- в более близких к силовому центру частях орбиты, где плечо ℓ меньше -- импульс тела (масса · скорость) должен быть больше. То есть, скорость движения планеты при перемещении по орбите меняется обратно пропорционально плечу импульса.

Почему я столь подробно остановился на теме с моментами и законами сохранения? Если разобраться в этих вопросах -- можно сильно улучшить своё понимание многих процессов во Вселенной. Рассуждения можно продолжить и для комет, подлетающих к Солнцу, и ускоряющихся возле него. И для газа, вращающегося вокруг сверхмассивных чёрных дыр (на расстоянии сотых парсека -- он стабильно кружи́т возле гравитирующего тела, а на расстоянии тысячных парсека газ за счёт вязкого трения теряет свой угловой момент и падает в дыру, что мы наблюдаем в активных ядрах галактик). Понимание влияния моментов сил тоже многое объясняет -- от того, зачем в чувствительных приборах с вращательными элементами стремятся уменьшить плечо силы трения, вплоть до формы конечностей быстро бегающих животных. Важно помнить, что законы Ньютона могут объяснить многое, но не всё. В рамках формализма Ньютона был предсказан и открыт Нептун из-за необычного поведения Урана на своей орбите (на него будто бы влияло невидимое массивное тело). Однако, в Солнечной системе довольно много объектов (не два, как в рассматриваемых примерах), а задача даже трёх тел в настоящее время не имеет в общем случае аналитического решения. Да и даже в рассмотрении задачи двух тел [Солнце + Меркурий], выяснилось, что ньютоновский закон тяготения не описывает смещение перигелия Меркурия и описать наблюдения удалось более совершенными и точными теориями (где оказалось, что гравитационного поля нет, а все мы с вами ускоряемся вверх -- нас толкает пол снизу). Да и законы сохранения тоже работают не везде и с оговорками. Важно помнить о границах применимости тех или иных физических моделей. Однако, в повседневной жизни понимания элементарных принципов теории Ньютона достаточно, чтобы ответить себе на колоссальный спектр окружающих вопросов. Таких же вопросов, которые задавали наши предшественники сотни лет назад. Вопросов, ответы на которые нас в итоге уже отправили в космос и оснастили компьютерами со смартфонами :)

Как следует из второго закона Кеплера, планета движется по орбите неравномерно: вблизи перигелия (самая близкая к Солнцу точка орбиты) планета движется быстрее, вблизи афелия (самая далёкая от Солнца) замедляется.

Скорость движения планеты по орбите неравномерная. С учетом закона сохранения импульса, тем дальше планета от Солнца, тем медленее ее скорость перемещения, чем ближе к Солнцу - тем быстрее скорость.