Не буду писать про определение логарифмов, скажу, зачем они нужны. У логарифмов много полезных свойств: во-первых, логарифм как функция очень медленно растет (натуральный логарифм от 5 ≈ 0,7; от 5000 ≈ 3,7; от 5 000 000 ≈ 6,7), во-вторых, он растет монотонно [если a > b, то log(a) > log(b)], в-третьих, логарифм от произведения равен сумме логарифмов [log(a*b) = log(a)+log(b)]. Все это позволяет, например, легко сравнивать между собой произведения больших величин: не нужно считать сами произведения, достаточно посчитать их логарифмы, а чтобы узнать логарифм произведения, можно посчитать сумму логарифмов от множителей. Кроме того, логарифмы часто удобны для описания явлений природы. Например, человек воспринимает некоторые вещи «по логарифмической шкале»: воспринимаемая разница между громкостью разных звуков не всегда одна и та же, а пропорциональна их громкости (т.е. мы гораздо лучше слышим разницу между двумя тихими звуками, чем между двумя громкими). Из-за этого уровни воспринимаемой громкости (децибелы) считаются логарифмически. И вообще очень многие вещи в природе, экономике и других областях описываются при помощи экспоненциальных законов (power laws). Например самое частое слово в большом корпусе текстов обычно встречается, грубо говоря, где-то в два раза чаще, чем второе по частоте, а оно в свою очередь в два раза чаще, чем третье по частоте, и т.д. (закон Ципфа). Похожие закономерности наблюдаются в распределении размеров городов и силы землетрясений. Чтобы наглядно представлять эти измерения и с ними оперировать, удобно использовать не настоящие величины, а их логарифмы.