В трудовом кодексе нет понятия "отгул", есть «выходной в счет отпуска», «дополнительный выходной» и т.п. Оформлять его желательно заранее, исключение - какие-либо серьезные причины, непредвиденные обстоятельства. Как правило, выходной предоставляется в счет отработанного ранее времени, в счет отпуска (неиспользованного либо будущего) и т.д.
В таких случаях пишется заявление, унифицированной формы нет. Пишется на имя начальника подразделения либо директора организации в зависимости от структуры предприятия. Текст может звучать так: "Прошу предоставить мне дополнительный выходной день ... (дата выходного) за ранее отработанное рабочем время или в счет будущего отпуска по причине.... (указывается для чего берется выходной день)". Заявление подписывается и указывается расшифровка подписи.