Мысль, что достаточно скачать готовую нейронную сеть и просто скормить ей данные, кажется не совсем правдивой, поскольку нейронка - это конкретная математическая модель, заточенная конкретно под какую-то задачу, под данные, с которыми мы хотим работать. Другое дело в том, что нынче этот процесс очень упрощён, поскольку вам не нужно самим высчитывать все производные и писать градиентный спуск - куча готовых фреймворков (Sklearn, TensorFlow, Keras) делают всю сложную работу за вас, а вам нужно лишь в пару строчек задать архитектуру - а для этого хватит и месячных курсов на каком-нибудь сайте (Udacity и Coursera эти ваши). Конечно, чтобы делать что-то серьёзное, нужно зубрить матанализ и линейную алгебру, так как без них не будет и понимания, что конкретно вы делаете, что сильно ограничивает ваши возможности, но просто ознакомиться и поиграться сейчас очень и очень просто.
Нде взять уже готовые?
http://robocraft.ru/blog/algorithm/558.html - очень толковое объяснение принципа работы (на русском)
В MATLAB есть модули для работы с нейросетями. Для разных языков программирования есть свои библиотеки для работы с ними.
Самые популярные:
Java - Deeplearning4j, Spark ML; Lua - Torch; Python - TensorFlow, Scikit-learn