Что посмотреть в самом Инсбруке не подскажу, не приходилось там гулять, но вот из курортов напишу пару вариантов, правда не знаю насколько из можно считать близкими. В одну сторону есть Майрхофен, он попроще, но рядом есть ледник Хинтертукс, там прикольно. В другую сторону есть Зёльден и Ишгль, вроде как самые популярные среди русских туристов. Ну и они явно посерьёзнее Майрхофена. Причём что в Ишгле особенно прикольно, в одну сторону с горы спуск в Австрию, в другую - в Швейцарию. Чтобы определиться с выбором советую найти схемы трасс, по ним будет видна и протяжённость, и средняя сложность спусков.
В Инсбруке ещё не была, но собираюсь в январе. Могу поделиться местами по Инсбруку, которые я для своего путешествия по Австрии собрала - http://www.bigtrips.co/list/qzX4HCfEDh .
С горнолыжками подсказать не могу, об этом лучше спросить Гугл.