Знаете, на ваш вопрос ответить трудно по нескольким причинам. Во-первых, какой смысл можно вложить в термин "компетентный военачальник" или "компетентный правитель"? Это тот, кто имел наибольший опыт командования войсками или тот, кто добился на своём посту, будучи именно одним из лидеров Белого движения? Во-вторых, каждому из наиболее заметных и высокопоставленных руководителей Белого движения было отпущено слишком мало времени для того, чтобы реализовать себя и как военачальника, и как руководителя своего государственного образования; но судьбу всех их объединяет одно - поражение (и либо смерть, либо изгнание). Согласитесь, нетривиальная задача - выяснить, кто из всего сонма проигравших наиболее компетентен.
Если говорить о компетентных военачальниках, которые к моменту своего присоединения к Белому движению (или создания ими самими его структур), то наиболее выдающимися из них были, разумеется, генерал от инфантерии Михаил Алексеев (при императоре - начальник штаба Верховного главнокомандующего), вице-адмирал Александр Колчак (командующий Черноморским флотом - и, по мнению автора профильного военно-морского блога naval-manual, самый эффективный морской командующий Первой мировой войны. Для того, чтобы раскрыть для себя этот тезис и поспорить с ним, лучше ознакомиться с текстами на
этом блоге, а не здесь) и командующий Кавказским фронтом Великой войны генерал от инфантерии Николай Юденич (один из двух за всю Великую войну кавалеров ордена св. Георгия II степени - первая русским генералам в то время ни разу не вручалась - и единственный в Белом движении. Другим был Алексей Брусилов). Генералы Лавр Корнилов и Антон Деникин тоже были талантливыми военачальниками, ярко проявившими себя во время войны, но если генерал Корнилов большую часть войны провёл в плену (куда попал командиром армейского корпуса), а генерал Деникин до 1917 года рос от командира бригады до командира армейского корпуса, то в условиях 1917 года (пик их карьеры - первый стал Верховным главнокомандующим, второй - командующим Юго-Западным фронтом) им оказалось как минимум сложно проявить себя в роли военных руководителей такого ранга (обсуждение политических взглядов и роли этих военачальников во время Февральской революции и далее полагаю необходимым в принципе исключить даже в комментариях, они никакой пользы не принесут). Тяжёлой потерей на заре существования Добровольческой армии была гибель Генерального штаба генерал-лейтенанта Сергея Леонидовича Маркова, профессора Николаевской военной академии и выдающегося штабиста, при этом человека высочайшей личной храбрости. Если говорить о гражданских руководителях, то я бы выделил Александра Васильевича Кривошеина - председателя правительства Юга России при генерале Врангеле, а до революции - главноуправляющего министерством земледелия и сподвижника П. Столыпина.
Что же касается хода самой Гражданской войны, то с одной стороны можно заметить, что прославленные военачальники и командиры Первой мировой показали себя не так ярко, как во главе прославленных частей Российской императорской армии; с другой стороны, она выдвинула на передний план огромное количество ярких командиров среди всех сторон конфликта. Из всей массы этих людей я выделил бы Светлейшего князя А. Ливена (который к сожалению рано умер, но показал себя наиболее выдающимся русским лидером на Северо-западном театре Гражданской войны), генерала Я. Слащова (при всей его неоднозначности блестяще справившегося с обороной Крыма в условиях жесточайшего дефицита сил), генерала В. Каппеля, генерала П. Врангеля (заслугой которого можно считать хотя бы сделанную им реорганизацию белых на Юге после катастрофы зимы 1919-20 гг. и эвакуацию ноября 1920), генерала В. Ткачёва, одного из лучших русских авиаторов и создателя белой авиации; плеяду молодых военачальников - выходцев из Корниловского полка еще 1917 г. и "цветных" частей Белой армии (список которых был бы длинным). Сюда можно было бы добавить и несколько фамилий наиболее ярко проявивших себя белых партизан - назовём рано погибшего полковника Я. Чернецова или такую яркую личность как Станислав Никодимович Булак-Балахович. А завершим, наверно, список "самых из самых" именем генерала Викторина Молчанова, последнего боевого белого генерала.
Что касается такого аспекта как руководство в целом (а не только войсками), то назвать не то чтобы выдающимся, а даже более-менее успешным кого-либо из белых руководителей трудно. С одной стороны, ни в одной из белых областей за всё время Гражданской войны не было голода, с другой - найти основу для мира и взаимного доверия с населением областей, занятых их войсками никто из них не смог. Об этом говорит и наличие массовых вооружённых выступлений против белых (и вообще проблема неспокойного тыла так никем из российских антибольшевистских руководителей так и не была решена - разве что отчасти ген. Врангелем или руководителями белого Приморья, но это всё же очень ограниченные пространства по сравнению с территориями, подконтрольными ВСЮР к сентябрю 1919 года или Всероссийскому правительству в Омске в первой половине того же года), и то, что против восставшего населения применялись войска (я думаю, что феномен "белого террора" существовал, и это безусловно тёмная сторона Белого движения, но считаю, что даже в своих крайностях он был бледной тенью террора красного), и то что порой руководители Белого движения, вроде как признанные всеми за главных, не могли контролировать своих якобы подчинённых, на деле ставших владельцами собственных "уделов" (список здесь тоже долгий - от тяжёлых взаимоотношений между правительством А. Деникина и казачьими областями до противостояния А. Колчака и атаманов Калмыкова, Семёнова и проч., особое независимое положение фактического "князя" КВЖД ген. Дм. Хорвата и т.п.). Поэтому лично я на эту часть вашего вопроса ответить не способен.