Может ли хороший преподаватель английского иметь сильный русский акцент?

Анна, мы считаем, что акцент есть у всех, кто родился и учился английскому вне англоговорящей страны. Конечно же, сильный акцент влияет на восприятие уровня языка в целом, но у фонетики есть её основная функция — смыслоразличительная. То есть, если преподаватель некорректно произносит звуки, соединяет слова, интонирует — он не может на должном уровне обучать студентов. Если кратко: акцент может быть, но он не должен препятствовать пониманию речи, особенно у преподавателя.

Да. Преподаватель может иметь сильный русский акцент, особенно если проживает в русскоговорящей среде. 

Другой вопрос, умеет ли он его контролировать?

Моя знакомая освоила несколько акцентов: британский и коллифоонийский (зачем, не знаю), но она умеет переключаться между ними. 

Так что все зависит от преподавателя и среды в которой он находится.