Роутеры обычно ведут историю ваших посещений. Но не того, что вы искали. Будет видно, что вы ходили на яндекс, а что вы там делали - не видно. Роутер работает по более низкому протоколу, чем http. К тому же, как правило, такую историю можно отключить в настройках роутера.
Увы, да. Современные роутеры имеют предустановленный софт, ведущий логи посещений веб-страниц. А с учётом того, что поисковые запросы как правило становятся частью url, легко отследить, что искалось.