Во-первых несколько неплохих ответов уже было, в частности очень неплох ответ Леонида Коганова.
Во-вторых, само по себе понятие "измерений" достаточно неудачно. Всё-таки обычно говорят о размерности пространства, но тут вкладываются разные смыслы.
- Размерность линейного пространства — проще говоря максимальное количество линейно независимых векторов. Скажем на плоскости их два (любой третий выражается через два ненулевых и неколлинеарных). Так что размерность линейного пространства всегда натуральное число, либо она бесконечна. Для бесконечномерных пространств различают пространства по мощности базиса, также есть разные подходы к понятию базиса вообще. К примеру — базис Гамеля, должен порождать все векторы при помощи конечных линейных комбинаций, а базис Шаудера — при помощи бесконечных. Кстати, вопрос существования базиса Шаудера — весьма непрост (это т.н. проблема Банаха-Шаудера) и была решена (причём отрицательно) Энфло в 1972 году.
- Есть другие подходы к определению размерности. Помимо уже упомянутой размерности Хаусдорфа, есть ещё и размерность Минковского. Последняя, кстати, может не определяться однозначно — там бывают иногда верхняя и нижняя размерности, но это уж детали. Ещё важную роль играет размерность по Ляпунову, которая связана размерностью Хаусдорфа.
Зачем нужны такие экзотические определения? Самый простой ответ — для изучения фракталов. Это своего рода самоподобные фигуры, про них написано много книжек, даже и не берусь советовать что-то конкретное.
В целом я достаточно скептично отношусь к фракталам, мне не кажется что это супер-мейнстрим, но нельзя не отметить, что они иногда возникают и в прикладных задачах. В частности, есть такая штука, которая называется "странными аттракторами". Вообще аттрактором называется такое множество, которое "притягивает" к себе траектории. В частности, оказывается, что иногда такие вот аттракторы могут иметь дробную ляпуновскую размерность, т.е. по сути являются фракталами. В прикладном смысле такие штуки возникают например в задаче конвекции морской воды в плоском слое (странный аттрактор Лоренца) и для других задач такого сорта.
Я, честно говоря, не большой специалист в таких задачах, и слыхал что есть предположение что такие "странные аттракторы" являются в некотором смысле артефактами моделей, но в целом нельзя не отметить, что задачи, которые порождают такие структуры — вполне себе прикладные.
Ну и хочется ещё сказать, что у странных аттракторов как раз размерности нецелые.
Ну, а про формулы — думаю стоит приступить к изучению УрЧП (или УрМатФиз, кому как нравится) — и удовлетворять своё любопытство в ходе более регулярных штудий.
Ну и картинка, не всё же читать-то :-) тот самый странный аттрактор Лоренца для одной из задач (картинка из википедии)
Если возможно оценить некие формы и качества глобальных представлений ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ, то почему не ставится... Читать дальше
Нам трудно представить вселенные с другими физическими законами, с другой топологией и другим, тем более нецелым числом измерений пространства и времени.
Но как говорил Р. Толмен о том, что Вселенная не обязана обладать теми же свойствами, что и видимая ее часть.
Минковским предложена 4-х мерная трактовка теории относительности, позже появились модели с 5-ю измерениями... Читать далее
1 эксперт согласен
4-х мерная размерность пространства -абстракция человека. Очень может быть нецелочисленная размерность, еще не... Читать дальше
Пространство может иметь нецелое число измерений. Фактически, любые научные теории, включая теорию струн и некоторые модели Вселенной, предполагают существование пространств с дробными или даже отрицательными измерениями. Математическая структура, используемая для описания таких пространств, известна как дробное исчисление, которое является расширением стандартного... Читать далее
Раз математики говорят, что может - то может. Важно, как они считают размерности.
Да, существуют пространства с нецелым количеством измерений. Они называются пространствами с нецелочисленным измерением или фрактальными пространствами. Они были изучены в математике и физике в конце 20-го века.
Одним из примеров такого пространства является пространство Кантора, которое имеет фрактальную размерность. Это математическое понятие, которое было изобретено... Читать далее
Измерения могут быть полноценными или нет, ограниченными или свободными. Но они НЕ могут быть "не целыми". Это же всего лишь точка свободы. Она либо есть, либо её просто нет. Даже точка не полной свободы уже считается за полноценное измерение.
А как же Мандельброт с его "Фрактальной геометрией природы", в которой он рассуждает о дробных размерностях, при... Читать дальше
В естестве природы, нет дробных универсалий.
Универсалии, это предельно самодостаточные ОГэЯ (объекты, группы и явления).
Пространство, это доступная органам чувств людей, сфера восприятия, хотя бы посредством инструментария.
Пространство, априори, трёхмерно. Эти три меры – суть – дискретные величины, опять же априори, целочисленно не накладываемые друг на друга. Т.е... Читать далее
Член ММО - Московского математического Общества. Кстати, старейшего в мире.
Л.М. Коганов. · 27 нояб 2022
Понятия числа измерений множества как фигуры и целиком об'емлющего эту фигуру пространства суть одни из самых трудных в математике.
Даже инвариантность / корректность размерности кнечномерного линейного пространства вызывает значительные затруднения у изучающих [в первых редакциях Курса высшей алгебры А.Г. Куроша теорема (Маклейна-) Евг Штейница о замене выделялась... Читать далее
Топологические понятия нельзя применять в лоб к физическим объектам - вопрос обсуждался здесь. Это касается и... Читать дальше
Количество измерений - абстракция. В зависимости от того, как мы будем это число определять получим разные результаты.
Снежинку можно считать плоской, снежинку можно считать объемной, снежинку можно считать фракталом размерности 2.731..
В реальности не исключено что количество измерений вообще не ограничено, а наша физика просто существует в малом их количестве (целом... Читать далее
Согласен на счёт матриц. Что за таблица может иметь дробное кол-во столбцов или строк? Есть что-нибудь похожее в математике?))
Могут. Это так называемые дробные пространства. Это относится к функциональному анализу, но может быть существует где-то еще. Насчет существования дробных измерений в реальном мире - не знаю.
Дробные измерения в мире существуют, хотя бы с помощью обычной логарифмической линейки.
Не будем заморачиваться... Читать дальше
В глобальном смысле существование пространств с дробной мерностью, я не верю. Но вполне возможно локальное нарушение целочисленности мерности, ведь треклятый принцип неопределенности Гейзенберга пока еще ни кто не отменял.
А на счет про пространства из которого выделилось наше псевдо евклидовое.
По моему мнению это пространство должно быть сферически симметричным... Читать далее
1 эксперт не согласен
Евгений Миронов
26 декабря 2022возражает
Принцип неопределенности Гейзенберга не имеет никакого отношения к размерности пространства.
Эксперименты по... Читать дальше