Существует много способов.
Многие просто отправляются в путешествие пешком или на велосипеде, подрабатывая в дороге на подсобных работах, пользуясь гостеприимством других людей, давая уличные концерты или представления, рисуя картины и обменивая их на еду.
Есть довольно много людей, которые совершили таким образом длительные путешествия.
Про подборку книг об этих путешествиях я уже писал здесь.
Можно работать удаленно и при этом путешествовать. Я, например, удаленно занимаюсь репетиторством и консультациями. Но это оставляет довольно мало времени на собственно путешествия.
Можно организовать краудфандинговую компанию и собрать средства, а еще лучше сообщество фанатов вашего путешествия, которые будут поддерживать вас в пути. В качестве компенсации вы можете присылать им сувениры, эксклюзивные фотографии и видео. Одна моя знакомая собрала некоторое количество средств для поездки к Ниагарскому водопаду в обмен на то, чтобы бросить в него монетку и загадать желание другого человека.
Можно договориться с туристическими фирмами или журналами на создание обзоров достопримечательностей или необычные репортажи.
Есть разнообразные волонтерские проекты, но об этом уже говорилось в других ответах.
Есть программы, когда вы приезжаете в страну и останавливаетесь у ее жителей в обмен на услуги по обучению вашему языку, воспитание детей или помощь по хозяйству.
Если вы обладаете хорошим обаянием или хорошо знаете какую то страну или просто можете сделать путешествие в чем то необычным - вы можете собрать свою группу и таким образом получить средства на свое путешествие. Один мой знакомый организовал очень необычное путешествие - Йога у берегов Антарктиды и атким образом уже трижды побывал на этом необычном континенте и снял фильм о своих путешествиях.
Если вы имеете в виду профессиональных путешественников и всякие сложные и экстральные экспедиции и установления мировых рекордов, то, как правило, у них всегда есть коммерческие спонсоры.
Существует еще такой способ, как волонтерство. Чаще всего, конечно, он предполагает, что до места работы вы добираетесь сами, но жилье и еду вам предоставляют. Бывают и такие, когда вам оплачивают и дорогу, но это очень редко и нужен большой опыт и качественное мотивационное письмо.