Нужна магистратура программисту или бакалавра достаточно? И как магистратура скажется на работе?

Сергей! К сожалению, бабушка ошибается. Бакалавриат это полноценное высшее образование. На уровне магистратуры Вы можете поменять направление. т.е. начать изучать какую-то другую (за искл., например, медицины) область. И тогда Вы будете, например, бакалавр в области программирования и магистр, например, управления. Но можете и не менять. Бакалавриат и магистратура - это два уровня высшего образования. А бывает еще (не во всех областях) специалитет, по программам которого училось предыдущее поколение (до ввода в РФ Болонской системы). Бакалавриат от специалитета отличается более общей подготовкой, т.е. чуть более обще, чем специалитет, а магистратура, чуть более глубже .чем специалитет.

В любом случае, диплом бакалавра открывает Вам такие же возможности по уровню, как Вашим родителям и бабушке, после окончания ВУЗа. Так что успокойте её.

П.с.: Если Вы собираетесь заниматься программированием на уровне практики, то бакалавриата будет достаточно и потом пройдете по недостающим компетенциям (которые в магистратуре в любом случае не дают) курсы. Обычно все так и делают. А вот если Вас интересует научная сторона, то лучше, конечно пойти в магистратуру.

Программисту, как и любому инженеру, в первую очередь нужны знания, затем опыт. Как уж вы их там получите - ваше личное дело. От корки это не зависит.
Что же касается найма на работу и прочего - там будут нужны, в том числе, и корки. А уж какие конкретно - зависит от нанимателя.