В вопросе неверное утверждение. Согласно ТО масса не увеличивается со скоростью. Только энергия. А масса - постоянная величина.
Увеличивающаяся со скоростью масса - устаревшая формулировка, использовавшаяся в основном Паули и некоторыми другими физиками лет сто назад. Довольно неудобная формулировка, это видно уже по тому, что она порождает вот такие вопросы. А никаких значимых преимуществ у нее нет. Но несмотря на это она прочно закрепилась в школьных учебниках и научпопе.
Ну а по большому счету - это вопрос не о сути, а об удобстве и названиях. Какую именно величину называть массой.
Дело именно в сути.В таком случае фотону можно приписать массу,а это-ошибка.