Потому что в математике должно доказываться любое утверждение. Последовательность и функция - это разные математические объекты, их пределы - тоже разные объекты с разными, хотя и очень похожими определениями. Да, они имеют практически одинаковые свойства, и большинство доказательств для одного практически дословно переводятся на другое, но все равно эти доказательства должны быть проведены.
Можно доказать, что все вещи, которые доказываются для последовательности, справедливы и для функции.