Теперь Кью работает в режиме чтения

Мы сохранили весь контент, но добавить что-то новое уже нельзя

Почему можно перемножать только такие матрицы, у которых число столбцов в первой матрице равно числу строк во второй матрице?

Математика
Анонимный вопрос
  · 2,1 K
младший научный сотрудник ФТИ им. Иоффе  · 11 окт 2019  ·
astropolytech

Ответ первый, простой - по определению. Само это правило - перемножать элементы строки одной на соответствующие им элементы столбца другой и складывать произведения не дает способа перемножать неподходящие матрицы

Ответ второй, подробный. Для него нужно понять, что такое на самом деле матрица. Это не просто набор чисел в прямоугольнике, а представление линейного оператора в некой системе координат. Что такое линейный оператор? Это функция, в качестве аргумента принимающая вектор, значением которой тоже служит вектор, и удовлетворяющая требованию линейности, то есть. пусть m, n - числа, V, U - вектора, A - оператор. Линейность означает, что для любых m,n,V,U выполняется соотношение

A(m*V + n*U) = m*A(V) + n*A(U)

Рассмотрим конкретный премер - двумерные вектора и операторы поворота. Пусть дан вектор V с координатами Vx и Vy, и мы хотим повернуть его на угол альфа против часовой. и выяснить, какие будут его координаты. С точки зрения векторов и операторов поворот записывается как U = A(V), для линейных операторво принято обозначение в терминах умножения U = A*V

В координатах же это выглядит как

Ux = Vx* cos(alpha) - Vy*sin(alpha)

Uy = Vx*sin(alpha) + Vy*cos(alpha)

Легко видеть, что это можно записать как умножение матрицы на столбец! Матрица оператора A выглядит как

cos(alpha) -sin(alpha)

sin(alpha) cos(alpha)

теперь рассмотрим два последовательных применения операторов сначала A поворот на альфа, потом B поворот на угол бета. Такую композицию называют умножением, и она действительно удовлетворяет свойствам привычного нам умножения чисел, кроме коммутативности. А матрица оператора B*A, соответствующая повороту на угол бета плюс альфа, будет равна произведению их матриц, выполненому по правилу "строка на столбец". Таким образом, мы видим, что логично назвать именно эту операцию умножением матриц.

Почему же нельзя умножить матрицы с неподходящими размерами? Это становится понятно, если пристальнее понять, что именно означает конкретный элемент матрицы, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце. Как нетрудно видеть из примера выше, этот элемент означает, какой вклад даст j-я компонента исходного вектора в i-ую компоненту полученного результата. А при попытке перемножить матрицы неподхоящих размерностей получится что у векторов есть либо лишние и неиспользованные компоненты, либо наоборот их нехватает и получается бессмыслица

астрофизическое образованиеПерейти на vk.com/astropolytech