Для простоты понимания (понадобится фантазия): представьте что у вас есть множество (в случае определённого интеграла - конечное) бесконечно узких серых коробочек разной высоты (по сути палочки). Они стоят плотненько друг к другу на идеально ровной поверхности на фоне голубого неба, и если вы посмотрите на них сбоку (в двухмерном пространстве), то увидите что они образуют что-то вроде серого холма с кривой поверхностью. Над этой кривой всё голубое, под ней - серое. Эта кривая - и есть график функции, а серое под ней - и есть площадь криволинейной фигуры, т.к. она состоит из суммы площадей сдвинутых вместе серых коробочек.
Теперь если вы захотите склеить из этих коробочек лестничный пролёт, по образу тех что в подъездах в многоквартирных домов (то есть ступеньки-коробочки плотно примыкают друг к другу, но теперь они стоят не на одном уровне, а верх одной пристыкован к низу другой и под каждой ступенькой кроме самой первой пустота) то в итоге вы получите кривую лесенку (так как высота коробочек разная). Важно понимать, что прядок следования коробочек менять нельзя. Если теперь вы сверху этой лесенки спустите ковровую дорожку зелёного цвета, и посмотрите на всё это опять же сбоку (в двухмерном пространстве) то увидите кривую линию зелёного цвета. По сути вы только что проинтегрировали первую (серую) кривую и получили в результате вторую (зелёную) кривую. Конечно интегрируете вы не кривую а функцию, графиком которой является кривая, но сути дела это не меняет. Высота вашей лесенки будет равна площади той самой криволинейной фигуры (серого холма). Почему? Потому что площадь холма - это сумма площадей коробочек (при виде сбоку), а т.к. площадь это высота умноженная на ширину, а коробочки бесконечно узкие, то есть ширина их стремится к нулю, то для счёта остаётся только высота коробочек. Значит по сути площадь - это сумма высот всех коробочек. Но высота лесенки - тоже сумма высот всех коробочек. Значит они равны.
То, насколько резким будет изменение высоты ваших ступенек - это и есть та самая "скорость" изменения графика функции, определяемая дифференцированием.
Теперь если вы захотите разобрать вашу лесенку и снова поставите все коробочки на ровную поверхность плотно друг к другу в строгой последовательности, по сути вы выполните обратное действие - дифференцирование функции "зелёной кривой". Грубо говоря, глядя сбоку на поверхность и площадь "разобранной" лесенки вам будет проще понять насколько сложно будет на неё взбираться в "собранном" виде. Если поверхность - прямая горизонталь, а площадь мала, то лесенка тоже будет прямой и пологой. Если горизонталь с большой площадью (холм ровный, но высокий, как плато), то на лесенку вам придётся ползти по канату или взлетать. Если же криволинейная фигура перед вами сродни американским горкам - чтобы взобраться на лесенку сразу берите с собой каску и команду профессиональных альпинистов.
Если вышеописанное визуализировать, будет гораздо понятнее.
Грубо и упрощённо, но для начального понимания - оно примерно так.
На самом деле "по определению", просто в школьной программе этот вопрос обычно не раскрывается. По сути сначала возникла задача рассчёта площади, и возникли интегральные суммы, а интеграл определяется как предел интегральных сумм при бесконечном измельчении. Формула ньютона лейбница это теорема позволяющая вычислить интеграл если известна первообразная.
Площадь криволинейной фигуры (не обязательно трапеции) — это просто самый понятный пример. На самм еле никакого отношения к трапеции интеграл не имеет. Интеграл, это метод вычесления. Можно, например, вычислить плотность какого-то неоднородного тела или ускорение, если скорость менялась нелинейно.