Почему в основу классификации живых организмов положили такие признаки как авто- и гетеротрофный тип питания, наличие оформленного ядра?

Раньше считалось, что все живые организмы можно разделить на два домена - Прокариоты (безъядерные) и Эукариоты (имеющие оформленное ядро). В новой классификации полифилетическая группа Прокариоты распалась на два самостоятельных домена, Археи и Бактерии, имеющие принципиальные молекулярные отличия. Поэтому, основываясь на современных данных, можно утверждать, что наличие оформленного ядра лежит только в основе деления организмов на про- и эукариот, а не в основе всей системы живой природы.
Является ли авто- и гетеротрофный тип питания важным систематическим признаком - тоже спорный вопрос. Ведь деление организмов на четыре царства (Бактерии, Грибы, Растения и Животные) давно устарело. Сейчас существует более десятка царств эукариот, деление на которые происходит главным образом по типу строения митохондрий, особенностям жгутиков и молекулярным данным.

Потому что при любой классификациив первую очередь смотрят на основные признаки, по которым объекты можно свести в одну категорию или отделить от других объектоа.

Не нравится существующая классификация - предложите свою, вдруг она будет лучше

Потому, что в определении самого понятия Жизни - основными являются информационный и энергетический (энтропийный, при управлении потоками энергии) компоненты.