Когда могущество сюзерена слабеет - вассалы выходят из подчинения.
Когда в 1359 году был убит хан Бердибек - последний из потомков Батыя, в Золотой Орде началась Великая Замятня: борьба за власть множества претендентов.
В это же время, Дмитрий Донской продолжает политику московских князей - собирание русских земель. Орда слабеет - Московия делается сильнее.
К тому же, от опасностей гражданской войны, многие татарские мурзы перебегают к московскому князю, усиливая его войско (и одаряя русскую культуру своими талантливыми потомками: Алябьев, Рахманинов, Булгаков, Гоголь, Бунин, Державин, Ахматова и т.п. ).
В результате - первая серьезная заявка на отделение - Куликовская битва. В ней, впервые, русские осознали себя не московитами, смолянами и новгородцами - но единой нацией.
В последствии, Тохтамыш, попытался, было, вернуть русских под свою руку, пожег Москву и добился возобновления выплаты дани, но, на свою беду, поссорился с Тамерланом, а Великий Хромец умел показать, кто тут папа.
После гибели Тохтамыша, Золотая Орда уже не оправилась - от нее начали отделяться ханство за ханством, пока, в 1480 году, царь Иван III и хан Ахмат не постояли друг напротив друга на реке Угре.
Татарское господство пало по причине гражданской войны в Золотой Орде - татары сами себя закопали.
Кстати, это еще вопрос - было ли иго. Русские земли были автономны в гораздо большей степени, чем, например, нынешние, украинские, когда Украина была под рукой Литвы и Польши. Веру нас никто не заставлял менять, наоборот, татар заставляли креститься, когда к нам переходили. Зато татарские отряды помогали против католического натиска с Запада.