Применяются ли интегралы в реальной жизни? Если да, то где?

Применяются и еще как, достаточно почитать любую серьезную книгу по физике, чтобы осознать всю необходимость матанализа в науке, возьмите Ландаушица, любой том, и просто полистайте не вчитываясь, вы будете поражены обилием интегралов и производных. Могу привести пример проблемы вычисления площадей и объемов. Для примитивного случая вычисления площади - фигура ограничена графиком, ОХ и прямыми параллельными ОУ, необходимо взять определенный интеграл, который обычно заменяется на сумму методом прямоугольников, ну или вычисление площади фигуры, ограниченной некоторыми графиками функций - тут уже двойной интеграл, для объема - тройной. В математике понятия не вводятся от того, что после доказательств теорем математикам больше нечего делать, а от того, что в них возникла потребность, а значит и математические понятия применяются в реальной жизни в любом случае. Скорее всего вам ничего не объяснили про смысл того, что вам объясняли, ну или ваши потребности еще где-то на уровне школьных задач, тогда советую все-таки почитать что-нибудь по физике или взять олимпиадные, сложные задачи, желательно с неким сюжетом, а не просто пример или требование взять интеграл, как это обычно бывает во многих учебниках. Удачи вам в изучении математики ☺️