Нет, не проводит. Паутина - это белковое волокно, а сухой белок - это диэлектрик. В мокром виде, как на картине к вопросу, конечно там может появиться какая-то небольшая проводимость.
Ну и еще нужно учесть, что паутина очень тонкая, толщина нити - единицы микрометров, поэтому даже при наличии какой-то удельной проводимости сопротивление каждой нити будет огромным.