Как бы вы простыми словами объяснили смысл гипотезы Римана?

Простыми словами
  · 5,1 K
Аналитик по профессии, инженер-механик по образованию, философ по убеждениям...

Можно совсем просто, такой ответ уже есть в Кью (Математика - это наука, которая описывает некоторые закономерности чисел ... https://yandex.ru/q/question/science/mozhete_obiasnit_prostym_iazykom_92094c35/).

Поэтому этот ответ чуть-чуть с элементами теории и истории.

Риман является одним из основоположников комплексного анализа, т.е. анализа функций комплексного переменного. Комплексное число является математическим объектом, т.е. называется числом т.к. с ним можно выполнять такие же действия как с числами (существует множество других математических объектов, которые не являются числами).

Так вот комплексное число состоит из двух частей действительного и мнимого, которые являются совершенно разными по своей природе. Действительные числа - это числа, которые появляются в результате точных измерений, т.е. тогда, когда мы пытаемся сравнить некоторую эталонную физическую величину с какой-то другой физической величиной, т.о. действительное число имеет некоторый физический (не всегда геометрический) смысл.

Мнимые числа появились в математике вполне закономерным путем, просто в них появилась необходимость. Всем известно, что не существует квадратного корня из отрицательных чисел, т.е. не существует никакого действительного числа, квадрат которого будет меньше нуля. А как же число i? Да, именно это число i и называется мнимым, т.е. не действительным, а новым объектом математики, который не имеет привычного физического смысла.

Существует множество предпосылок появления мнимых чисел. Одним из существенных является решение кубических уравнений в радикалах, т.е. с помощью формул, подобно тому, как как нас учат решать квадратные уравнения в школе (кубические тоже учат, но не во всех школах). Так вот, когда Кардано разработал формулы для решения кубических уравнений в общем виде, он заметил, что даже когда кубическое уравнение имеет действительные корни, в его формулах появляются корни квадратные из отрицательных чисел. Он также заметил, что если в качестве промежуточных вычислений применить запись, которая не имеет никакого значения для действительных чисел, то затем эти странные записи можно сократить и останутся только действительные значения, ну и само собой некоторые решения кубических уравнений оставались комплексными, т.е. состоящими из действительного числа и квадратного корня из отрицательного числа.

Затем Эйлер ввел обозначение мнимого числа i, а значит и современную запись комплексных чисел, и предложил геометрическую интерпретацию комплексных чисел, т.е. комплексную плоскость.

Как только в математике появились комплексные числа, то сразу появился и комплексный анализ, т.е. производные и интегралы функций комплексного переменного.

Функцию комплексного переменного, как и само комплексное число, можно представить двумя частями, т.е. двумя функциями действительного переменой, одна будет отвечать за изменение действительного значения, а другая - мнимого. Эти две функции связаны условием Коши-Римана.

В отличии от функций действительной переменной функции комплексного переменного обладают замечательным свойством, если они имеют производную в какой-либо области, то они имеют бесконечное число производных в этой области. Из этого свойства вытекает другое замечательное свойство функций комплексного переменного, если какая-либо функция комплексного переменного определена только в какой-то области, то ее можно (если можно) единственным способом доопределить на другую область, там, где она не определена, в том числе на всю комплексную плоскость за исключением нескольких особых точек, которые называются полюсами, собственно это точки, в которых обратная функция комплексного переменного принимает значение нуль. Кроме того, выяснилось, что особые точки функции комплексного переменного если их обходить по кругу позволяют легко вычислять не только комплексные, но и действительные интегралы, используя теорему о вычетах (не будем углубляться далее в теорию, здесь главное знать, что существует такая возможность).

Теперь еще немного истории. Математики любят решать разные сложные задачи. Одной из таких задач, которую не могли долго решить - нахождение суммы бесконечного ряда обратных квадратов натуральных чисел. Известно, что этот ряд сходится, т.е. его частичная сумма стремится к некоторому значению.

Эту задачу в 1735 году решил Эйлер. Эйлер научился вычислять ряды любых обратных четных степеней натуральных чисел. Кроме того, Эйлер обнаружил связь между бесконечными рядами обратных четных степеней и обратных нечетных степеней натуральных чисел, которые отличаются на единицу.

Таким образом, Эйлер научился вычислять любой бесконечный ряд, образованный обратными степенями натуральных чисел, в том числе дробными числами.

Такие ряды в математике называют рядами Дирихле, они имеют множество других полезных в математике свойств, но Эйлер также установил связь между суммой любого такого ряда Дирихле и бесконечным произведением, в которое входят только простые числа - тождество Эйлера.

Теперь собственно о гипотезе Римана, математической задаче, которую уже не могут решить более 160 лет.

Изначально Гипотеза Римана является побочным продуктом математики. Риман, видимо, не собирался ни формулировать эту гипотезу, ни решать другую задачу, которую до него решали алгебраическими методами, скорее всего Риман хотел продемонстрировать мощь аналитического метода функций комплексного переменного, как триумфа теории функций вообще (он всего лишь делал традиционный доклад по поводу вступления в должность профессора Берлинской академии наук в 1859 году).

Другими словами, развитие теории функции комплексного переменного привело к понятию аналитической функции, т.е. функции, которая определена ее значениями и значениями ее производных в любой точке. Следовательно, любая функция комплексного переменного может быть представлена бесконечным рядом и наоборот, если функция представлена бесконечным рядом, то она аналитическая и может быть представлена другим бесконечным рядом.

Риман показал, что если перейти от функции действительного переменного к функции комплексного переменного, то можно извлечь значительную пользу изучая поведение нулей этой аналитической функции. В качестве примера Риман взял тождество Эйлера и задачу нахождения распределения простых чисел в ряде натуральных чисел. Теперь мы знаем, что функцию распределения простых чисел в общем-то дискретную функцию, можно представить достаточно точно, используя значения нулей Дзета функции Римана.

Что сделал Риман? Во-первых, он записал тождество Эйлера в комплексной форме, т.е. перешел от действительных значений степеней натуральных чисел к комплексным, в этом комплексном виде ряд Дирихле обратных степеней натуральных чисел и носит название Дзета функции Римана. Во-вторых, он выполнил аналитическое продолжение ряда Дирихле на всю комплексную плоскость.

Это аналитическое продолжение оказалось той связью между четными и нечетными степенями натуральных чисел, которую в действительной форме обнаружил Эйлер, т.е. значение Дзета функции точке 1-s в той области комплексной плоскости, где ряд Дирихле расходится, т.е. частичные суммы ряда стремятся к бесконечности, а не к конкретному комплексному числу, определяются значениями в точке s, где ряд Дирихле сходится, таким образом Дзета функция Римана - аналитическое продолжение ряда Дирихле, определена на всей комплексной плоскости, кроме полюса в точке 1.

Далее Риман показал, что эта функция имеет нули и показал, как оценить количество нулей методами функций комплексного переменного, и на конец указал на связь между нулями этой функции и количеством простых чисел на заданном промежутке.

Все эти замечания Риман сделал между прочим, далеко от своих основных научных работ, так же между прочим он высказал предположение, что все нули этой аналитической функции лежат на комплексной прямой, со значением действительной части 1/2.

Риман конечно ничего не говорил про вращающиеся отрезки (см. совсем простой ответ), но если представить частичные суммы ряда Дирихле отрезками, а это возможно, т.к. любое комплексное число можно представить отрезком, то получится завораживающая картина http://matt-diamond.com/zeta.html (анимацию подготовил Exp0 https://dxdy.ru/topic20981-585.html). Если остановить вращение отрезков (нажать на animate), то можно заметить, что отрезки образуют причудливую ломаную линию (я называю ее спираль Римана), на которой заметны точки разворота, вокруг которых отрезки сначала закручиваются, а затем раскручиваются, т.е. меняют относительный угол,

Zeta(4585.199).PNG

то оказывается, что эти точки расположены в точках кратных числу пи и расстояние между этими точками соответствуют длине отрезков с соответствующими номерами, если точки считать от последней, а отрезки от первого. Поэтому в простом объяснении и идет речь про два набора отрезков, т.к. часть спирали можно заменить отрезками, которые соединяют точки разворота.

Последняя точка разворота соответствует значению Дзета функции Римана. Мы можем заметить, что эта точка разворота периодически проходит через ноль комплексной плоскости, т.е. Дзета функции Римана принимает значение нуля.

Гипотеза Римана говорит, что последняя точка разворота будет проходить через ноль комплексной плоскости, только в том случае если длина отрезков является обратной величиной корня квадратного из натурального числа, т.е. степень 1/2.

Соответственно, если взять другую степень натурального числа (можно поменять значение re, например, на 0.4 и снова запустить вращение отрезков, нажать animate еще раз), то мы увидим, что последняя точка разворота всегда проходит мимо нуля комплексной плоскости.

Как говорится в простом ответе, сложность гипотезы Римана заключается в неравномерном вращении этих отрезков, т.о. невозможно определить точно, как ведут себя нули Дзета функции Римана при любых значения.

На текущий момент проверено более 10^13 нулей Дзета функции Римана - все они лежат на комплексной прямой с действительной частью 1/2, т.е. при длине отрезков равной обратным величинам корня квадратного из натурального числа.

Комментировать ответ…
Ещё 1 ответ
TutorOnline - одна из крупнейших онлайн-школ. Мы преподаем более 150 предметов. Наша цель...  · tutoronline.ru

Существуют так называемые простые числа, например, 2, 3, 5, 7 и т.д. ,которые делятся только сами на себя. Сколько их всего, не известно. Риман полагал, что это можно определить и найти закономерность их распределения.

действительные числа в общем случае - это математические объекты и тоже не имеют физического смысла как бы ни... Читать дальше
Комментировать ответ…
Вы знаете ответ на этот вопрос?
Поделитесь своим опытом и знаниями
Войти и ответить на вопрос