Сколько пространственных измерений с точки зрения теории струн? Из каких теоретических соображений они появляются?

Ну, точно струнщики еще сами не определились, зависит от модели. В исходной теории бозонных струн размерность пространства была 25+1. В теории фермионных - 9+1. В самой современной и перспективной на сегодняшний день М-теории получается 10+1.

Теоретически, можно выводить по-разному, но например в книге Цвибаха для бозонной струны делается так - строится функционал действия для струны, по аналогии с точечной частицой, просто вместо интервала берется "площадь поверхности". Потом проводится квантование, тоже по аналогии с классической квантовой механикой. А потом из полученных операторов рождения и уничтожения строятся лоренцевские генераторы. Лоренцевские генераторы должны удовлетворять определенным коммутационным соотношениям, это просто следствие свойств группы Лоренца.

В определенных, весьма хитроумно выбранных координатах, коммутатор двух операторов, который должен быть равен нулю оказывается равен

Для равенства нулю необходимо чтобы скобка тождественно обращалась в 0 при всех m. Отсюда следует что D = 26. Кстати в процессе вывода этих формул использовалась всеми любимая сумма натурального ряда. Более простого объяснения я не знаю. Как и того, как получается 10 или 11, но думаю что очень похожим образом при немного других исходных предположениях.

В качестве аналогии, и примера того, как повышение размерности резко ограничивает пространство параметров можно вспомнить следующее: сколько существует правильных многоугольников на плоскости? Бесконечно много, хоть треугольник, хоть миллионугольник. А сколько правильных многогранников в пространстве? Всего пять