Ну, само по себе слово Reich в немецком означает что-то вроде "империи". Германская империя, что существовала в 1871–1918 годах, называлась по-немецки Deutsches Reich. Пикантный момент в том, что точно так же официально называлось и государство под руководством Гитлера, то есть пресловутый "Третий Рейх" — условное понятие.
Ну и к самой сути вопроса. Подсчётом Рейхов занялись ещё в 1920-е. Первый, мол — это Священная римская империя (Heiliges Römisches Reich), второй — упомянутая Германская, третий — ну, он и есть Третий. То есть задолго до прихода Гитлера к власти шли разговоры о том, что настанет некий великий и прекрасный Третий Рейх, который удовлетворит все желания реваншистов (коих после Первой мировой, мягко говоря, хватало). СРИ тут опционально может меняться на Карла Великого с его Fränkisches Reich, государством франков, но какое-то не очень удобное для немецкого национализма название получается.
Ясное дело, что кроме слова Reich и обширных территорий в центре Европы (не вполне даже совпадающих) общего между этими государствами почти ничего нет. Это сугубо философско-политическая концепция.
3, как известно. Первый существовал во время Великой Римской Империи, Второй во время Отто фон Бисмарка, а о третьем нам всем известно. Нацисты предполагали, что третий рейх просуществует 1000 лет