Собеседник утверждает, что он шлёт мне письма по эл. почте, однако они приходят мне в виде СМС. Как такое возможно?

Значит у Вас включено уведомление в почте по смс. У каждого сейчас почта привязана к номеру телефона. Посмотрите в настройках своей почты эту настройку, скорее всего она включена.