Основной причиной была Континентальная блокада Великобритании, организованная Наполеоном. Россия примкнула к ней в 1807 году по итогам Тильзитского мира, и к этой блокаде планировала примкнуть союзница России - Дания. Однако Британцы первыми напали на Данию и захватили весь флот этого королевства.
В результате Россия объявила Великобритании ультиматум и обратилась к Швеции за поддержкой, ссылаясь на заключенные ранее между этими странами соглашения. Шведы отказали, более того, стало известно, что они собираются союзничать с британцами, что привело к объявлению Россией войны как Великобритании, так и Швеции.
Или, если вкратце - Россия воевала со Швецией, которая тяготела к Великобритании, которая напала на Данию, которая союзничала с Россией.
Стоит добавить к другим ответам, что как раз в этот момент регентом при слабоумном шведском короле стал наполеоновский маршал Жан Батист Бернадот, который не сразу стал руководствоваться интересами Швеции. Однако война сложилась для России удачно и ее результатом стало присоединение к Российской империи Финляндии