Как звучит теорема Геделя?

Анонимный вопрос
  · 3,0 K
Вы знаете ответ на этот вопрос?
Поделитесь своим опытом и знаниями
Войти и ответить на вопрос
3 ответа
Увлекаюсь историей, публицистикой и компьютерными играми, а также понемногу...
Теорем Геделя не одна, а две. Формулировка теоремы о неполноте звучит так: для произвольной непротиворечивой формальной и вычислимой теории, в которой можно доказать базовые арифметические высказывания, может быть построено истинноеарифметическое высказывание, истинность которого не может быть доказана в рамках теории. Формулировка теоремы о непротиво... Читать далее
Комментировать ответ…
Восточные практики, хинди, Индия. Политика, юриспруденция, право. Книги...
Существует две теоремы математической логики, доказанные Куртом Гёделем в 1930 году, и названные его именем. Это: 1. Теорема Гёделя о неполноте, которая утверждает «если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует невыводимая и неопровержимая формула». 2. Вторая теорема Гёделя утверждает, что «если формальная арифметика непротиворечива... Читать далее
27 января 2019  · < 100
Комментировать ответ…
Имею естественно научное образование, в юношестве прикипел к литературе, сейчас...

Теорема Геделя о неполноте звучит следующим образом:

Всякая достаточно сильная рекурсивно аксиоматизируемая непротиворечивая теория первого порядка неполна.

Это вариант обобщенной формулировки теоремы.

27 января 2019  · < 100
Комментировать ответ…
Читайте также

Можете доступно изложить доказательство великой теоремы Ферма?

Tergiversator, hypotheticus

Доступно, к сожалению, получится навряд ли. Множество ученых и неученых умов, так называемых в математическом кругу "ферматистов", расшибались о твердь недоступности этой величественной теоремы.

Классическое доказательство ВТФ в основном опирается на модулярные эллиптические кривые, в частности, должное внимание уделяется кривым Фрея и гипотезе Таниямы. Логика доказательства состоит всего, от силы, из 5-6 последовательных пунктов, которые, тем не менее, требуют глубокого анализа и исследования.

Кстати говоря, среди ферматистов бытует мнение, что Уайлс доказал справедливость гипотезы Таниямы в качестве, так сказать, леммы для утверждения Рибета (о немодулярности кривых Фрея). Поэтому, строго говоря, это несправедливо, что все лавры почета достались одному только Уайлсу. Это я так, о профессиональной этике.

17 января 2016  · 1,4 K
Прочитать ещё 6 ответов

Почему почти все народы изгоняли евреев со своих территорий?

Андрей Миллер
Эксперт
6,4K
Популяризатор истории, писатель. Специализация — Позднее Средневековье и Ренессанс в...  · vk.com/grand_orient

Почти все — это какие?) Испания, Португалия — да. "Черта оседлости" в РИ — допустим. Но на большей части территории Европы евреи вполне себе жили постоянно — пусть не всегда и не полностью чувствуя себя комфортно при этом. А отношения с мусульманами вообще испортились только в ХХ веке, до того в Османской империи евреям в какой-то мере было даже лучше, чем в христианских странах.

Что касается причин существования антисемитизма вообще, но на эту тему целые книги написаны, можно очень долго рассуждать и много спорить. Очевидно одно: антисемитизм действительно существует столько же времени, сколько существуют сами евреи. Вот в такой форме вопрос поставить будет корректно: почему он был всегда?

Можно, конечно, сводить вопрос к "у евреев много денег" и ростовщичеству, что в какие-то моменты будет и отчасти справедливо: то же изнание евреев из Испании очень помогло стране финансово в моменте, и без него такого взлёта империи могло не случиться. Но это, конечно, рассмотрение поверхностное.

Сугубо для христианской Европы тут всё понятно — ну да, это иноверцы. А всё Средневековье вера — по сути единственный маркер "свой-чужой", да позднее значить она будет многое. Особенно, опять же, в уже упомянутых иберийских государствах и России.

Но в целом всё глубже, конечно. Лично по моим ощущениям (как еврея) еврейство в принципе построено на противопоставлении себя окружающим, на создании замкнутой общины в окружении иного общества. Поэтому антисемитизм в него заложен как бы изначально и более того — он необходим для того, чтобы евреи продолжали ощущать себя единым народом, а не начинали делиться на фракции между собой (что они охотно делают в Израиле — как раз в условиях, когде все вокруг евреи).

В общем, лично моё мнение — еврейство неотделимо от антисемитизма и наоборот, эти проблемы возникают потому, что евреи таковы, каковы есть. И наоборот: именно эти проблемы позволяют евреям оставаться самими собой. Потому что иначе народ, большую часть своей истории не имевший своей земли, давным-давно растворился бы в других этносах.

2 июля 2019  · 109,0 K
Прочитать ещё 44 ответа

Объясните теорему Гёделя о неполноте простым языком для нематематика пожалуйста. Постулаты, практическое значение, влияние на философию?

выпускник НГУ

Не хотелось мне отвечать на этот вопрос, но судя по тому какую херню тут пишут - все же придется.

Во-первых Теорема Геделя - это Теорема о свойствах конкретной формальной системы - арифметике Пеано (один из способов аксиоматического описания натуральных чисел). Теорема утверждает о том, что в арифметике Пеано существует формула, которую нельзя ни доказать ни опровергнуть средствами самой арифметики. 

Вот собственно и все, особого практического значения здесь нет никакого. Однако философское осмысление теоремы разные люди начали переиначивать на свой лад. Некоторые кибернетики говорили, что она утверждает невозможность искусственного интеллекта как такового. Физиологи говорили, например, о тщетности опытов с собаками Павлова, от которых требовалось детерминированное поведение. Физики говорили о невозможности описания сложных физических объектов (черных дыр и проч.). Про что говорили журналисты, я вообще молчу. И меньше всего интерпретацией занимались, наверно, сами математики.

Все эти утверждения возможно и верны, но они не имеют никакого отношения к теореме Геделя. Потому что теорема Геделя утверждает только о свойствах арифметики Пеано. И даже факт того, что какие-то формулировки не могут быть доказаны самой системой - не является смертельным, так как 1) они могут быть неинтересны в практическом смысле, 2) могут быть доказаны в рамках другой формальной системы.

6 ноября 2016  · 4,6 K
Прочитать ещё 6 ответов

Кто и как доказал теорему Пуанкаре?

Надежда Шихова
Эксперт
3,7K
Редактор и переводчик книг по математике   · zen.yandex.ru/maths

Самое интересное в истории с гипотезой Пуанкаре, -- не кто и как, а что именно. Григорий Перельман справился с большей проблемой, а гипотеза Пуанкаре получилась как простое следствие (и не самое значительное) из его работы.

К концу XIX века уже были известны топологические типы двумерных «хороших» поверхностей. Довольно трудно объяснить, какие поверхности «хорошие», но я нарисую кое-что нехорошее:

Пуанкаре 0.jpg

У поверхности окрестность любой точки должна быть похожа на диск. Под номером 1 – не поверхность, ведь у выделенной точки ближайшая окрестность – трехлепестковая штучка, а не просто диск. Хорошая поверхность должна быть связной, безграничной и конечной

Хорошие поверхности уже можно классифицировать.

Пуанкаре 1.jpg

Скажем, поверхности мяча, бублика и кренделя – разных типов, непрерывными преобразованиями нельзя одну деформировать в другую. Непрерывно деформировать – значит растягивать, сжимать и скручивать, но только не рвать и не склеивать кусочки.

Здесь важно, что мы, жители 3-мерного пространства, с одного взгляда отличаем эти поверхности. А что же их плоские обитатели, которые не могут выбраться в третье измерение? Им было бы непросто разобраться, что представляет собой мир, в котором они живут. Скажем, муравей, который живет на бублике, не видит дырки от бублика – он воспринимает только двумерную поверхность, на которой живет. Но муравей может расположить на поверхности веревочную петлю, которую невозможно стянуть в точку. Так он и определит, что живет не на сфере, ведь на сфере любая петля в точку стягивается.

Нам, обычным трехмерным жителям привычного трехмерного пространства, тоже непросто разобраться, что представляет собой мир, в котором мы живем! Мы не можем выбраться в следующее измерение, чтобы посмотреть на наш мир снаружи. Придется научиться характеризовать трехмерный мир по его внутренней природе, а не по тому, как он вписывается в гипотетическое следующее измерение.

В начале XX века Анри Пуанкаре хотел разобраться с трехмерными многообразиями (аналогами поверхностей). Он высказал обманчиво простое утверждение:

если на трехмерном многообразии (без границы, конечном) любой контур стягивается в точку, оно должно быть топологически эквивалентно 3-мерной сфере.

Пуанкаре 4.jpg

3-мерная сфера – непростой объект. Возьмем двумерный диск в виде гибкой пленки с границей в виде гибкого шнурка. Продавим диск, чтобы получился этакий мешок, а потом стянем шнурок-границу в точку. Получим 2-мерную сферу, на которую мы смотрим из трехмерного пространства. Теперь сделаем то же самое с трехмерным диском (обычно мы называем трехмерный диск шаром). Стянем его границу в точку и получим 3-мерную сферу. Говорят, есть такие люди, которые могут это с легкостью представить.

Эту гипотезу можно обобщить; обобщенная гипотеза Пуанкаре говорит примерно то же самое, но только для размерностей выше 3. И вот для больших (больше 4) размерностей ее доказал в 1960-1970-х годах прошлого века Стивен Смейл (он составлял список задач XXI века и поместил в него гипотезу Пуанкаре).

Для размерности 4 доказательство придумал Марк Фридман в 1982 году. И только родная, домашняя размерность 3 никак не поддавалась.

Тем временем топология не стояла на месте. Уильям Тёрстон придумал способ классифицировать все трехмерные многообразия. Это куда круче, чем характеризовать одну только 3-мерную сферу. Он придумал разбивать любое трехмерное многообразие на куски, на каждом из которых реализуется одна из восьми стандартных геометрий. На помощь топологии Тёрстон призвал геометрию с такими элементами как расстояния и углы – топология обычно их и не рассматривает. Так возникла программа геометризации Тёрстона – охарактеризовать каждое трехмерное многообразие набором геометрий на нем. Гипотеза Пуанкаре стала бы просто следствием этой программы.

В 1982 году Ричард Гамильтон придумал новый метод в геометрическом анализе – потоки Риччи. Этот метод позволял преобразовывать метрику пространства: там, где кривизна отрицательная, -- увеличить, там, где большая положительная, -- уменьшить. И если исходное многообразие было похоже на сферу, оно в сферу и превратится.

Пуанкаре 3.jpg

Но с этими потоками Риччи была такая беда: при таком преобразовании иногда возникали особенности. Особенности мешали потокам течь куда надо, и тогда Билл Браудер и Джон Милнор придумали метод хирургии: надо разрезать сингулярность и заклеить потом места разреза. К несчастью, эти сингулярности иногда ведут себя как многоголовая гидра – от одной избавляешься, а несколько появляются.

Гамильтон все же сумел применить методику потоков Риччи так, чтобы провести классификацию двумерных поверхностей. Это показало силу метода, но не более: двумерные поверхности были классифицированы задолго до того. Но и в размерности три Гамильтон смог продвинуться очень далеко. Он открыл новый путь в математике, хотя и не прошел по нему до конца.

Справиться с гидрой сингулярностей смог Григорий Перельман: он показал, что сингулярности не будут множиться бесконечно, рано или поздно они прекратятся. В первой из трех статей по предмету Перельман прямо писал, что дает краткий набросок доказательства гипотезы геометризации (Тёрстона).

image.png

После были ещё статьи и долгое их обсуждение в математическом сообществе. Что же сделал Перельман? Доказывал ли он гипотезу Пуанкаре?

На самом деле он справился с трудностями метода потоков Риччи и тем самым доказал гипотезу геометризации Тёрстона. И в качестве приятного бонуса отсюда следовала истинность гипотезы Пуанкаре. Вот за этот бонус и полагалась миллионная премия института Клэя, а вовсе не за основной результат.

Перельман отказался от премии в миллион долларов за доказательство гипотезы Пуанкаре. И объяснял это, в частности, тем, что основная работа сделана не им. Журналисты не могли пройти мимо и не написать о Перельмане; по дороге выяснилось, что способ жизни Перельмана очень своеобразный, и это стало другим поводом о нем писать. Фотографии и детали личной жизни привлекали внимание читателей гораздо больше, чем смысл его работы.

А если бы Перельман взял миллион? Из этого хайп сделать было бы еще проще: обвинить его в том, что Перельман забрал премию, хотя основную работу сделал Гамильтон. И все, до конца дней не отмылся бы.

9 ноября 2019  · 32,6 K
Прочитать ещё 6 ответов

Почему не существует ми диез и си диез в музыке? Дайте объяснение без сложной терминологии!?

Игорь3,6K
Эколог по образованию, музыкант и музыкальный критик по призванию, автор канала...

Вообще-то, существует и очень даже хорошо применяется.

www.youtube.com/embed/iRsSjh5TTqI?wmode=opaque

Но это мелкие интервалы, а существуют также ещё меньше. Только вот подвох в том, что далеко не все способны их услышать. От того у нас на Западе ничего подобного не применяется. Чаще всего это можно встретить на Востоке, где языки тоновые, что обязывает к хорошему слуху.

Прочитать ещё 6 ответов