Алексей, точка не имеет размера. Но некоторые пространства, в которых точки находятся, обладают свойством, называемым метрикой. Метрика определяет относительное положение и расстояние точек в пространстве относительно друг друга. Благодаря метрике пространства являются измеримыми. Но существуют и неизмеримые пространства - например, проективное пространство. Существуют неевклидовы пространства, где метрика определяется не неравенством треугольника, а каким-либо другим способом. Отсюда следует, например, что в некоторых пространствах бывают круглые квадраты. Если кругом будем считать множество точек, расстояние от которых до центра не превышает диагонали квадрата. Тем самым - весь квадрат удовлетворяет требованию, и потому является кругом.
Существование метрики определяет внешнюю и внутреннюю меру Лебега множества. Это значит, что можно присвоить понятие меры (длины, объёма) даже некоторому не непрерывному множеству точек. Главное условие - чтобы внешняя и внутренняя меры совпадали. Это напоминает мне интегральные суммы Дарбу: они тоже бывают внешними и внутренними, и если совпадают, то множество считается интегрируемым по Риману.
Если подытожить: дело не в свойствах точки, а свойствах пространства, в котором точки находятся. Именно оно определяет метрику (расстояние). Как это делается? - аксиоматически. Берём множество точек и определяем правила работы над ними.
Бесконечное множество точек бесконечно в одном аспекте своих свойств, но конечно в другом аспекте.
Всё неверно. От первого до последнего слова.